Sea$f:[a,\infty)\rightarrow \mathbb{R}$ una función uniformemente continua. $\int_{a}^{\infty} f$ converge.Proveer que$\lim_{x\to\infty} f(x)=0$

Question

Deje $f:[a,\infty)\rightarrow \mathbb{R}$ ser un uniforme de función continua en ese intervalo. $\int_{a}^{\infty} f$ converge. Demostrar que $\lim_{x\to\infty} f(x)=0$

Sugerencia: Utilice la secuencia $F_n(x)=n\int_{x}^{x+\frac{1}{n}} f$.

Honestamente he estado tratando de resolver este por algún tiempo, pero la sugerencia de que realmente me confunde.

He tratado de ensuciar alrededor con $F_n(x)$ un poco, por ejemplo utilizando el teorema fundamental pero aún así parece, como tales, una elección al azar y no puedo hacer nada fuera de ella.

Cualquier orientación/explicaciones que será apreciado.

Por favor, utilizar la pista en la pregunta.

Answer 1

Primero de todo, tenga en cuenta que para todas las $n\in\mathbb{N}$ $$\lim_{x\rightarrow\infty}F_n(x)=n\left[\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\int_a^{x+\frac{1}{n}}f(t)\mathrm{d}t- \int_a^xf(t)\mathrm{d}t\right)\right]=n\left[\int_a^{\infty}f(t)\mathrm{d}t-\int_a^{\infty}f(t)\mathrm{d}t\right]=0.$$ Ahora vamos a $\varepsilon>0$ ser arbitraria. Por uniforme de continuidad, hay un $\delta>0$ tal que para todos los $t,x\in\left[a,\infty\right)$, tenemos $|f(t)-f(x)|<\varepsilon$ siempre $|t-x|<\delta$. Pick $N\in\mathbb{N}$ tal que $\frac{1}{n}<\delta$ para todos los $n\ge N$. A continuación, para todos los $x\in\left[a,\infty\right)$, tenemos $$\left|n\int_x^{x+\frac{1}{n}}f(t)\mathrm{d}t-f(x)\right|=\left|n\int_x^{x+\frac{1}{n}}f(t)-f(x)\mathrm{d}t\right|\le n\int_x^{x+\frac{1}{n}}|f(t)-f(x)|\mathrm{d}t\le\varepsilon.$$ Desde $\varepsilon$ e $x$ fueron arbitrarias, llegamos a la conclusión de que $\lVert F_n-f\rVert\rightarrow0$ como $n\rightarrow\infty$, es decir, $F_n\rightarrow f$ uniformemente. Por lo tanto, $$\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow\infty}\lim_{n\rightarrow\infty}F_n(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\lim_{x\rightarrow\infty}F_n(x)=0.$$

Answer 2

Suponga que $\lim_{x \to \infty}f(x) =0$ no espera y llegada en contradicción con el hecho de que la integral de $f$ es convergente.

Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$ no posee entonces existe $\epsilon_0 > 0$ y una secuencia $x_n \to \infty$ tal que $|f(x_n)| \geqslant \epsilon_0$ para todos los $n$.

Asumir WLOG que $f(x_n) \geqslant \epsilon_0$.

No existe por el uniforme de la continuidad de la $f$ una $\delta > 0$ tal que $|f(t) - f(x_n)| < \epsilon_0/2$ para todos los $t \in [x_n - \delta,x_n + \delta].$

Esto implica $f(t) > \epsilon_0/2$ y

$$ \int_{x_n - \delta}^{x_n + \delta} f(t) \, dt > \epsilon_0\delta$$

Esto viola el criterio de Cauchy para la convergencia de la integral impropia desde $x_n$ puede ser arbitrariamente grande.