He visto el siguiente ejercicio de una antigua hoja de problemas:
Para $\zeta:=\zeta_{24}$ una primitiva $24$ -raíz de la unidad y $\mathcal{O}:=\mathbb{Z}[\zeta]$ determinar la descomposición en primos de $3$ . Determinar los campos de descomposición e inercia de los primos anteriores $3$ .
[Pista: demuestre que existe un único $4$ -subextensión $F$ de $\mathbb{Q}(\zeta)|\mathbb{Q}$ en el que $3$ no se ramifica, y que $F$ es el campo de inercia. Describe $F$ explícitamente, y luego determinar todos los campos cuadráticos $E$ en $F$ y encontrar uno donde $3$ divisiones]
Utilizando un famoso teorema sobre la descomposición de los primos en campos ciclotómicos, encontramos fácilmente que $3\mathcal{O}=(\mathfrak{p}\mathfrak{q})^2$ para algunos primos $\mathfrak{p}, \mathfrak{q}$ .
Para $G:=\text{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta)|\mathbb{Q})$ tenemos $G\simeq(\mathbb{Z}/(24))^\times=\{\overline{1},\overline{5},\overline{7},\overline{11},\overline{13},\overline{17},\overline{19},\overline{23}\}$ . Desde $\overline{d}^2=\overline{1}$ para todos $\overline{d}\neq \overline{1}$ entonces todos los subgrupos $H<G$ con el pedido $2$ son de la forma $\langle\overline{d}\rangle$ con $\overline{d}\in G\setminus\{\overline{1}\}$ . Por la correspondencia de Galois, $F$ debe tener la forma $\mathbb{Q}(\zeta)^H$ para algunos $H$ como en el caso anterior.
Mis preguntas son:
1) ¿Cómo sabemos si $3$ se ramifica en $\mathbb{Q}(\zeta)^H$ para un determinado $H$ ?
2) Una vez que tenemos $F$ ¿Cómo podemos encontrar $E$ ?
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Por cierto, puede encontrar $\mathfrak{p}$ y $\mathfrak{q}$ explícitamente en la factorización de $(3)$ utilizando la Proposición (8.3) del libro ANT de Neukirch. El polinomio ciclotómico 24º es $x^8 - x^4 + 1$ y su factorización mod $3$ es $(x^2 + x + 2)^2(x^2 + 2x + 2)^2$ . La proposición dice entonces que los primos son $\mathfrak{p} = \langle 3, \zeta_{24}^2 + \zeta_{24} + 2\rangle$ y $\mathfrak{q} = \langle 3, \zeta_{24}^2 + 2\zeta_{24} + 2\rangle$ .
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Para el grupo de descomposición, tal vez se pueda encontrar el subgrupo explícito de $G$ (en términos de mapas $\zeta_{24} \to \zeta_{24}^i, \gcd(i, 24) = 1$ ) que envía $\zeta_{24}^2 + \zeta_{24} + 2$ volver a $\mathfrak{p}$ .
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@TobErnack Por curiosidad, ¿cómo descubriste que $x^8-x^4+1=(x^2+x+2)^2(x^2+2x+2)^2$ mod $3$ ? Seguramente me tomaría un tiempo para resolverlo. Estoy trabajando en lo que dijiste sobre $\mathfrak{p}=(3,\zeta^2+\zeta+2)$
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Para ser sincero, sólo he utilizado WolframAlpha. Pero dado el teorema que mencionaste sobre las factorizaciones de primos en campos ciclotómicos, ya puedes adivinar la forma de la factorización, y usar un poco de fuerza bruta en las cuadráticas irreducibles mod. $3$ .
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Creo que el enfoque insinuado en el planteamiento del problema podría ser más elegante en realidad. No lo he pensado todavía, pero podría ahorrarte estos cálculos.
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Ok mirando su enfoque, una idea podría ser que el campo fijo de $\langle \overline{d}\rangle$ es $\mathbb{Q}\left(\zeta_{24} + \zeta_{24}^{d}\right)$ (No lo he probado). El polinomio mínimo de $\zeta_{24} + \zeta_{24}^d$ puede calcularse para cada $d$ en $\{1, 5, 11, ..., 23\}$ (por cierto, esto demostraría que los campos fijos son realmente lo que he dicho, comprobando que el grado es $4$ ). Entonces podrá comprobar si $3$ ramifica comprobando si divide el discriminante. Este enfoque debería funcionar, aunque podría haber una forma más inteligente de evitar los cálculos.
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He utilizado WolframAlpha para calcular polinomios mínimos, resulta que $\zeta_{24} + \zeta_{24}^d$ tiene grado $4$ , excepto cuando $d = 13$ en cuyo caso $\zeta_{24} + \zeta_{24}^{13} = 0$ . En este caso, puede intentar $\mathbb{Q}\left(\zeta_{24}\zeta_{24}^{13}\right) = \mathbb{Q}\left(\zeta_{24}^{14}\right)$ que sí tiene grado $4$ . Y por los cálculos, también puedo ver que el único caso en el que $3$ no se ramifica es cuando $d = 17$ .