¿Por qué una inyección de un conjunto a un conjunto contable implica que ese conjunto es contable?

Question

Estoy leyendo una prueba, y concluye que un conjunto $A$ es contable después de encontrar una inyección de $A$ a un conjunto contable. ¿Por qué es esto cierto? Pensaba que teníamos que encontrar un biyección de $A$ a un conjunto contable para demostrar $A$ es contable.

No debería $A$ sea como máximo ¿contable?

Answer 1

Lamentablemente, no existe un acuerdo uniforme sobre el significado de "contable". En concreto, ¿significa sólo contablemente infinitos, o incluimos también conjuntos finitos?

Bien. La respuesta depende del contexto, la conveniencia y el autor. A veces es más fácil separar lo finito y lo infinito, y a veces es más claro si los agrupamos.

Answer 2

Si $B$ es contable denote que $B = \{b_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ .

Si $f : A \to B$ es inyectiva para todo $a \in A$ hay un $b_n = a$ . Como el mapa es inyectivo, dos elementos diferentes en $A$ mapa a diferentes puntos en $B$ Así que puedes ver cómo enumerar $A$ ¿Ahora?

Answer 3

¡Utilice la inducción! Bueno, más convenientemente, en principio de ordenación del pozo forma.

Supongamos que $f:A\to N'$ es una biyección (básicamente $N'$ es el rango de $A$ ) donde $N'\subseteq \mathbb{N}$ . Ahora consideramos elementos en $N'$ . Tome el elemento más pequeño de $N'$ (que existe por el principio de buen orden), digamos $x_1$ . A continuación, considere el segundo elemento más pequeño (que existe porque $N'\backslash\{x_1\}$ es un conjunto), y llamar a este $x_2$ . Repite con $x_3$ etc. (si alguna vez nos quedamos sin elementos en $N'$ entonces sabemos $A$ es finito, lo cual está bien).

Ahora sabemos que $f:A\to \{x_i: i\in\mathbb{N}\}$ es una biyección. Esto es una buena noticia, porque es una biyección de $A$ a $\mathbb{N}$ si lo piensa bien. En otras palabras, pedir nuestro conjunto $N'$ de menor a mayor lo convierte en una biyección a $N$ .

Answer 4

Considera esto:

Dejemos que $A$ sea un conjunto arbitrario, $M$ sea un conjunto contable y $f:A \to M$ inyectiva.

Se sostiene que la preimagen $f^{-1}(m_i) \subset A$ de cada $m_i \in M$ ( $i=1,2,...$ ) es un conjunto unipuntual.

En otras palabras: cada elemento individual $m_i \in M$ tiene una preimagen individual $f^{-1}(m_i) = \{a_i\} \subset A$

Desde $M = \bigcup_i^n\{m_i\}$ era contable, $$f^{-1}(M) = f^{-1}\left(\bigcup_i^n\{m_i\}\right) = \left(\bigcup_if^{-1}\{m_i\}\right)= \bigcup_{i=1}^n\{a_i\} = A$$ es contable en sí mismo.