No se puede resolver $\int_{0}^{\pi} \frac{x}{1 + \cos^2x} dx$

Question

He probado esto :-

Dejemos que $$I =\int_{0}^{\pi}\frac{x}{1 + \cos^2x}dx\tag{1}$$ entonces $$I = \int_{0}^{\pi}\frac{\pi-x}{1 + \cos^2(\pi-x)}dx= \int_{0}^{\pi}\frac{\pi-x}{1 + \cos^2x}dx\tag{2}$$ Sumando (1) y (2), obtenemos $$ 2I = \int_{0}^\pi\frac{\pi}{1 + \cos^2x}dx\\ = \pi\int_{0}^{\pi}\frac{1}{1 + \frac{1}{\sec^2x}}dx\\ = \pi\int_{0}^{\pi}\frac{\sec^2x}{\sec^2x + 1}dx\\ = \pi\int_{0}^{\pi}\frac{\sec^2x}{2 + \tan^2x}dx $$ Dejemos que $\tan x = u$ entonces $du = \sec^2x dx$

Entonces, $$\int \frac{\sec^2x}{2+\tan^2x}dx = \int \frac{du}{2 + u^2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\tan^{-1}\frac{u}{\sqrt{2}}+c = \frac{1}{\sqrt{2}}\tan^{-1}\frac{\tan x}{\sqrt{2}}+c $$ Por lo tanto, $$ 2I = \frac{\pi}{\sqrt{2}}\left[\tan^{-1}\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right]_0^\pi\\ \Rightarrow I = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}\left[\tan^{-1}\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right]_0^\pi\\= \frac{π}{2\sqrt{2}}\left[\tan^{-1}\frac{\tan \pi}{\sqrt{2}} - \tan^{-1}\frac{\tan 0}{\sqrt{2}}\right]\\=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}[\tan^{-1}0 - \tan^{-1}0] \\= 0\\$$

Pero la respuesta que se da en el libro es $\frac{\pi^2}{2\sqrt{2}}$

¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Como ha encontrado siempre la dicontinuidad de $\tan$ es el problema, así que puedes resolverlo con tu método después de esta sustitución $$\int_{0}^{\pi}\dfrac{1}{1+\cos^2x}\ dx=2\int_{0}^{\pi/2}\dfrac{1}{1+\sin^2t}\ dt= \color{blue}{\dfrac{\pi}{\sqrt{2}}}$$ donde utilizamos la sustitución $x=t+\dfrac{\pi}{2}$ . Otra forma es la integración compleja, con $2x=t$ tenemos $$ \begin{align} \int_{0}^{\pi}\dfrac{1}{1+\cos^2x}\ dx&= \int_{0}^{2\pi}\dfrac{1}{3+\cos t}\ dt \\ &=\int_{|z|=1}\dfrac{1}{3+\frac12(z+\frac1z)}\dfrac{dz}{iz} \\ &= -2i\int_{|z|=1}\dfrac{1}{(z+3-2\sqrt{2})(z+3+2\sqrt{2})}dz \\ &= \color{blue}{\dfrac{\pi}{\sqrt{2}}} \end{align} $$

Answer 2

Como $\tan x$ es discontinuo en $\dfrac\pi2,$ doblemos la integral en el primer cuadrante

$$I=\int_0^{2a}f(x)\ dx=\int_0^af(x)\ dx+\int_a^{2a}f(x)\ dx$$

Ahora, ponte $2a-x=y$ en $\displaystyle J=\int_a^{2a}f(x)\ dx$

para encontrar $\displaystyle J=\int_a^0f(2a-y)\ (-dy)=\int_0^af(2a-y)\ dy=\int_0^af(2a-x)\ dx$

$$\displaystyle I=\int_0^{2a}f(x)\ dx=\begin{cases} 2\displaystyle\int_0^af(x)\ dx &\mbox{if } f(2a-x)=f(x) \\ 0& \mbox{if } f(2a-x)=-f(x)\end{cases} $$

Aquí $2a=\pi,f(x)=\dfrac1{1+\cos^2x}$

Answer 3

Sugerencia Para una solución un poco más exigente desde el punto de vista teórico, se puede empezar así:

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Dejemos que $$h(x) = f(x)\cdot g(x)\\ f(x) = x\\ g(x) = \frac{1}{1+\cos(x)^2}$$

Ahora buscamos $$\int_0^{\pi}h(x)dx$$

Pero con el análisis de Fourier sabemos:

$$\hat h(0) = \int h(x)dx$$

Y además sabemos $${\hat {(f\cdot g)}} = \hat f * \hat g$$

Su integral puede ser visto como Componente DC (componente de frecuencia 0 de la transformada de Fourier) del producto entre en intervalo $x\in [0,\pi]$ .

Estas funciones $\hat f, \hat g$ debería ser bastante agradable de describir en el dominio de Fourier y podemos dejar el resto como un ejercicio para el estudiante curioso.