¿Cuál sería el número de colorantes desiguales$6$ - de las caras de un cubo?

Question

Considerar las diferentes formas de color de un cubo con $6$ dado los colores de tal manera que cada cara será dado a un solo color y todos los seis colores que serán utilizados. Definir dos coloraciones ser equivalentes si uno va a obtener de otro sólo por la rotación. Entonces ¿cuál sería el número de coloraciones no equivalentes?

La respuesta es dada $30$. Pero yo estaba tratando de demostrar eligiendo el color en los dos lados opuestos.

Por ejemplo, primero vamos a elegir los colores en los dos lados opuestos en $^6C_2$ formas, luego otros dos lados opuestos en $^4C_2$ formas, y el sobrante de los lados en $^2C_2$ maneras. Así que, en total, obtenemos $15 \times 6=90$, pero creo que tengo el triple de recuento de la situación o el pensamiento de que en un camino equivocado.

Por favor, ayudar.

Answer 1

Hay $6!=720$ diferentes formas de coloración, sin tomar las rotaciones en consideración. Hay $24$ diferentes rotaciones, y para cualquier colorante, no hay dos rotaciones dar idéntico resultado. Por lo tanto, estos $720$ coloraciones pueden ser divididos en grupos de a$24$ esencialmente iguales coloraciones. No debe ser $30$ de dichos grupos.

Con su enfoque, usted está eligiendo tres pares de cargas colocadas colores, pero son overcounting porque la misma división en tres pares puede ser elegido en $6$ diferentes órdenes, de ser contada erróneamente como distintas por mientras. Al mismo tiempo, se considera una coloración y su imagen en el espejo no distintos (intercambio de dos enfrente de colores es erróneamente visto como la misma elección). Esto da un total de overcounting por un factor de $\frac62=3$.

Answer 2

En una permutación circular, acuerdos, que pueden ser obtenidos a partir de uno a otro girando el cubo se consideran idénticos.

Colocar un color en la parte inferior. No importa que. La parte superior de color puede ser elegido en cinco maneras. Lugar de otro color, de frente a usted. De nuevo, no importa que. El resto de los tres colores pueden ser dispuestos en relación a los colores de frente a usted en $3!$ formas de proceder de las agujas del reloj alrededor del cubo. Por lo tanto, no se $5 \cdot 3! = 30$ admisible coloraciones.