Si$\sin(18^\circ)=\frac{a + \sqrt{b}}{c}$, entonces, ¿qué es$a+b+c$?

Question

Si $\sin(18)=\frac{a + \sqrt{b}}{c}$ en la forma más simple, entonces, ¿qué es $a+b+c$? $$ $$ Intento: $\sin(18)$ en un triángulo rectángulo con lados de $x$ (en frente de la esquina con ángulo de $18$ grados), $y$, y la hipotenusa $z$, es en realidad la $\frac{x}{z}$, a continuación, $x = a + \sqrt{b}, z = c$. Podemos encontrar $y$como $$ y = \sqrt{c^{2}- (a + \sqrt{b})^{2}} $$ así tenemos $$ \cos(18) = \frac{y}{z} = \frac{\sqrt{c^{2}- (a + \sqrt{b})^{2}}}{c}$$

También me enteré de que $$b = (c \sin(18) - a)^{2} = c^{2} \sin^{2}(18) - 2ac \sin(18) + a^{2}$$

No tengo ni idea después de esto.

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La solución, dice que $$ \sin(18) = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} $$

Yo tengo la intuición de que debemos encontrar $A,B,C$ tales que $$ A \sin(18)^{2} + B \sin(18) + C = 0 $$ a continuación, $\sin(18)$ es una raíz de la iof $Ax^{2} + Bx + C$, e $a = -B, b = B^{2} - 4AC, c = 2A$.

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Totalmente diferente. Esta pregunta no es preguntar a demostrar que $sin(18)=(-1+\sqrt{5})/4$, que es sólo una parte de la solución.

Answer 1

Deje $A = 18°$
$$5A = 90°$$ $$⇒ 2A + 3A = 90˚$$ Tomando sinusoidal en ambos lados, obtenemos $$\sin 2A = \sin (90˚ - 3A) = \cos 3A $$ $$⇒ 2 \sin A \cos A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A$$ $$⇒ 2 \sin A \cos A - 4 \cos^3A + 3 \cos A = 0 $$ $$⇒ \cos A (2 \sin A - 4 \cos^2 A + 3) = 0 $$ Dividir ambos lados por el coseno de Un $$⇒ 2 \sin A - 4 (1 - sin^2 A) + 3 = 0$$ $$⇒ 4 \sin^2 A + 2 \sin A - 1 = 0$$ Después de resolver esta ecuación cuadrática $$ \sin18°=\frac{-1+√5}{4}$$

Answer 2

Edición: ahora está obsoleto, se aplica a la versión original de la pregunta, sin la condición "en la forma más simple":

Está claro que $a+b+c$ no está determinado, ya que $$\frac{2a+\sqrt{4b}}{2c}=\frac{a+\sqrt b}c$$but $$2a+4b+2c\ne a+b+c.$ $

Answer 3

Deje $ABCDE$ ser un pentágono regular.

En el triángulo rectángulo $GHC$ vemos a $\sin 18^{\circ} = {y\over 2x} $. Deje $k=y/x$.

A partir del triángulo de similitud de $GFC$ e $ACE$ tenemos $${x\over y} = {2x+y\over a}$$

y a partir de triángulo similitud de $BFC$ e $EDC$ tenemos $${a\over x} = {2x+y\over a}$$

Eliminar $a = {x^2\over y}$ y obtenemos $$x^3 = y^2(2x+y)\implies k^3+2k^2-1 =(k-1)(k^2+k-1)=0 $$

Claramente $k\ne -1$ lo $$k_{2,3} = {-1\pm \sqrt{5}\over 2} $$ y por lo $$\sin 18^{\circ} = {-1+ \sqrt{5}\over 4} $$

Answer 4

En la figura, vamos a $AB=AC=x$. Tenga en cuenta que $AD=CD=2$. Como $\triangle ABC\sim\triangle CDB$, $\dfrac x2=\dfrac 2{x-2}$

Así, $x^2-2x-4=0$ y, por tanto, $x=1+\sqrt{5}$.

$\sin18^\circ=\dfrac 1x=\dfrac{\sqrt{5}-1}4$.

Answer 5

Sugerencia Este es un problema clásico y probablemente un duplicado de aquí, pero yo era incapaz de encontrar otro ejemplo de esta pregunta como está escrito. Editar Encontrado uno.

En primer lugar, tenga en cuenta que $\sin 18^\circ = \cos 72^\circ$, nos encontramos con el último.

Recordemos que (por $n \geq 2$) de la suma de los $n$th raíces de la unidad de suma cero, y teniendo en piezas reales hojas de $$\sum_{k = 0}^{n - 1} \cos \left(\frac{k}{n} \cdot 360^\circ\right) = 0 .$$ Establecimiento $n = 5$ y el uso de la simetría de la función coseno da $$1 + 2 \cos 72^\circ + 2 \cos 144^\circ = 0 .$$ El uso de la doble ángulo de fórmula--- - en particular, que $$\cos 144^\circ = 2 \cos^2 72^\circ - 1$$ ---and substituting in the previous display equation gives a quadratic expression in $\cos 72^\circ$: $$4 \cos^2 72^\circ + 2 \cos 72^\circ - 1 = 0 .$$ Por la ecuación de segundo grado, $$\cos 72^\circ = \frac{-2 + \sqrt{(2)^2 - 4 (4) (-1)}}{2(4)} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} .$$ (Para resolver la $\pm$ la ambigüedad es suficiente para saber que $\cos 72^{\circ} > 0$.)