La siguiente pregunta apareció en mi examen de topología. No pude resolverla entonces, y ahora lo intento una vez más.
¿Podría alguien comprobar mi prueba para ver si es correcta, o tal vez sugerir una manera más fácil?
Dejemos que $(X,\mathcal{T})$ un espacio topológico de Hausdorff.
Dejemos que $p\not\in X$ y definir $\widehat{X}=X\cup\{p\}$ con la topología $\widehat{\mathcal{T}}$ (puede suponer que esto define efectivamente una topología):
$$U\in\widehat{\mathcal{T}}\iff\begin{cases}p\in U \text{ and }X\setminus U\text{ is a compact subset of }X,\text{ or} \\ p\not\in U\text{ and }U\in\mathcal{T}. \end{cases}$$
Demostrar que $\widehat{X}$ es compacto.
Hice un dibujo, donde el espacio rojo es $X$ y los círculos verdes son los conjuntos abiertos en la cobertura.
Mi enfoque:
Dejemos que $\{A_\alpha \}_{\alpha\in I}$ una cubierta abierta de $\widehat{X}$ .
Dejemos que $J\subset I$ tal que $p\in A_\alpha\iff \alpha\in J$ . Tome un $\alpha'\in J$ . Sabemos que $X\setminus A_{\alpha'}$ es un subconjunto compacto de $X$ .
Para todos $\beta\in J$ , $X\setminus A_\beta$ es compacto. Como $X$ es Hausdorff, ahora que $X\setminus A_\beta$ está cerrado, por lo que $A_\beta\cap X$ ( $=A_\beta\setminus\{p\}$ ) está abierto en $X$ .
Ahora $\{A_\beta\setminus\{p\} \}_{\beta\in J}\cup \{A_\gamma \}_{\gamma\in I\setminus J}$ es una cobertura abierta de $X$ utilizando conjuntos abiertos en $X$ por lo que también cubre $X\setminus A_{\alpha'}$ .
Esto implica que existe $M\subset J$ y $N\subset I\setminus J$ finito tal que $\{A_\beta\setminus\{p\} \}_{\beta\in M}\cup \{A_\gamma \}_{\gamma\in N}$ cubre $X\setminus A_{\alpha'}$ o que
$$\{A_\alpha\}_{\alpha\in\{\alpha' \}\cup M\cup N}$$
es una subcubierta finita de $\{A_\alpha \}_{\alpha\in I}$ de $\widehat{X}$ .
