Cómo resolver $\sqrt{x+2}\geq x$ ?

Question

¿Cómo se resuelve la desigualdad $$\sqrt{x+2}\geq{x}?$$

Ahora bien, como ${x+2}$ está bajo el signo radical, debe ser mayor o igual que ${0}$ a definir.

Así que,

${x+2}\geq{0}$

Así, ${x}\geq{-2}$

Teniendo esto en cuenta, podemos resolver la desigualdad elevando al cuadrado ambos lados:

${x+2}\geq{x^2}$

Así que ${x^2-x-2}\leq{0}$

Resolver, ${(x-2)(x+1)}\leq{0}$

Por lo tanto, ${x}$ pertenece al intervalo ${[-1,2]}$ .

Como ${x}\geq{-2}$ También se define la función.

¿Por qué la respuesta dice que ${x}$ pertenece a ${[-2,2]}$ ¿Entonces?

Por favor, siéntase libre de señalar los errores.

Answer 1

Cuidado : Al elevar al cuadrado, la desigualdad conserva su sentido de signo si ambos lados son positivos.

Tenga en cuenta que $\sqrt{x+2}$ se define para $x \geq - 2$ Así que primero hay que tener en cuenta $x \geq 0$ y trabajar como tal :

$$\sqrt{x+2} \geq x \Rightarrow x+2 \geq x^2 \Leftrightarrow x^2-x-2 \leq 0 \Leftrightarrow (x-2)(x+1) \leq 0$$

De hecho, esto da lugar a $x \in [-1,2]$ si también se consideran los valores negativos para los que se satisface la desigualdad derivada .

Pero si $x$ es negativo $(-2 \leq x < 0)$ entonces la raíz cuadrada (positiva) siempre será mayor que el lado izquierdo negativo. Por lo tanto, $[-2,0)$ será el truco en ese caso.

Concluyendo : $\sqrt{x+2} \geq x \implies x \in [-2,2]$ .

Answer 2

Claramente $x\geq -2$ .

• Si $x<0$ entonces cada $x\in [-2,0) $ es una solución (ya que el número negativo es siempre menor que la raíz cuadrada).
• Ahora bien, si $x\geq 0$ entonces se puede cuadrar, por lo que se obtiene $$x^2-x-2 = (x-2)(x+1)\leq 0$$ Así que en este caso cada $x\in[0,2]$ es una solución.

Así que, finalmente, cada $x\in [-2,2]$ es una solución.

Answer 3

Una vez que sepas $x \geqslant -2$ , considere en primer lugar $x \in [-2, 0)$ . El LHS está definido y es no negativo, mientras que el RHS es __________.

A continuación, consideremos el caso $x \geqslant 0$ donde puede cuadrar libremente como lo ha hecho. Aquí debería obtener $x \in [0, 2]$ como la solución.

Ahora el conjunto de soluciones es la unión de estos casos.

Answer 4

Dejemos que $a=\sqrt{x+2}\ge0$ de verdad $x$

Necesitamos $$a\ge a^2-2\iff0\ge a^2-a-2=(a-2)(a+1)$$

$$\iff -1\le a\le2\ \ \ \ (1)$$

Pero tenemos que honrar $a\ge0\ \ \ \ (2)$

Encuentre la intersección de $(1),(2)$

Answer 5

Sugerencia :

La inecuación $\;\sqrt A\ge B$ en su dominio (definido por la condición $A\ge 0$ ) equivale a $$A\ge B^2\quad\textbf{ or }\quad B\le 0.$$