Centralizador de un elemento en un grupo de Lie conectado compacto.

Question

Ejercicio 16.2 de Daniel Bump - Mentira Grupos.

Deje $G$ ser un equipo compacto conectado Mentira grupo y que $g\in G$. Mostrar que el centralizador $C_{G(g)}$ de $g$ está conectado.

Tengo algunos problemas de verificación esto, he tratado de usar que en ese caso el mapa exponencial es surjective, y las cosas de la máxima toro, pero no lo he logrado, les agradeceria alguna respuesta.

Answer 1

Observar que $C(g)=C(<g>)$ i.e el centralizador de un elemento es el centralizador de que el subgrupo generado por ella. El próximo observar que $C(H)=C(\overline{H})$ para cualquier subgrupo de $H\subset G$. Esto significa que el centralizador de $g$ es igual a la centralizador de $\overline{<g>}$.

$\overline{<g>}$ es un compacto de abelian subgrupo de $G$. Si está conectado a su entonces un toro. Por un toro tenemos las siguientes

Teorema De 16.6( Daniel Bump - Mentira Grupos.). Deje $G$ ser un equipo compacto conectado Mentira grupo y $S \subset G$ un toro (no necesariamente máximo). A continuación, el centralizador $C_{G}(S)$ es un circuito cerrado conectado Mentira subgrupo de $G$.

Cada elemento de un pacto conectado mentira grupo está contenida en un máximo de toro. Y para un toro tenemos:

Corolario 15.1( Daniel Bump - Mentira Grupos.). Cada pacto torus $T$ tiene un generador. De hecho, los generadores son densos en $T$ .

Esto significa que la afirmación es verdadera para un denso conjunto en $G$.

En general, yo no creo que sea cierto. Un ejemplo contrario será necesario un elemento con un discreto cierre de los subgrupos. No hay contador de ejemplos en el grupo unitario como elementos que conmutan si tienen el mismo subespacios propios. Podemos diagonelize una matriz y degenerado es eagenvalues a 1, mientras que la preservación de los subespacios propios. Esto significa que la afirmación es verdadera en el grupo unitario.