¿Es el grupo libre sobre dos generadores generado por dos elementos como un monoide?

Question

Hoy he estado reflexionando sobre esto y no he podido encontrar una respuesta. Obviamente se puede generar como un monoide por los cuatro elementos $a$ , $b$ , $a^{-1}$ y $b^{-1}$ . Después de jugar un poco pude llegar a tres elementos que lo generan como un monoide: $ab$ , $ab^{-1}$ y $a^{-1}$ .

Pero no he sido capaz de encontrar dos generadores, ni un argumento de por qué debería ser imposible.

Answer 1

El grupo libre sobre dos generadores mapea en $\Bbb Z^2$ . (Esta es su abelianización). Si fuera generado por dos elementos como un monoide, entonces también sería $\Bbb Z^2$ . Pero eso no es así. Si tienes dos elementos $a$ , $b$ de $\Bbb Z^2$ generándolo como un monoide, ciertamente lo generan como un grupo abeliano, por lo que deben ser linealmente independientes como vectores. Pero en ese caso $-a-b$ no está en el submonoide de $\Bbb Z^2$ generado por $a$ y $b$ .

Asimismo, un grupo libre en $n$ los generadores no pueden ser generados como un monoide mediante $n$ elementos.

Answer 2

Y, generalizando aún más el caso de rango 2, el $(n+1)$ -tupla $(a_1^{-1}, a_2^{-1},\ldots,a_n^{-1},a_1a_2\cdots a_n)$ genera todo el rango $n$ grupo libre como un monoide.