Compruebe si$f \mapsto f+ \frac{df}{dx}$ es inyectivo o se inyecta

Question

Considerar los mapas de $C^{\infty} \to C^{\infty}$ s.t $f \mapsto f+ \frac{df}{dx}$. Tenemos que comprobar si este mapa es inyectiva o surjective.

Yo: El mapa está claro que no es inyectiva como $x$ e $x+e^{-x}$ mapas a $x+1$.

Ahora para comprobar si el mapa es surjective. Considere la posibilidad de $g \in C^{\infty}$. Luego yo estaba pensando de esta manera que teniendo en cuenta que $\int_0^xg$ entonces $f=g-\int_0^xg$ ahora $f+\frac{df}{dx}=g-\int_0^xg+\frac{dg}{dx}-g=-\int_0^xg+\frac{dg}{dx}$ todavía no estoy recibiendo una prueba si es surjective o no.

Answer 1

La comprobación de surjectivity es la misma que la resolución de la ODE $f'+f = g$ para $f$ y ver si se asume que el $g$ es suave, a continuación, $f$ es también suave. Este hecho ocurre, como podemos resolver la ODA por los métodos habituales: desde las soluciones a $f'+f=0$ son de la forma $f(x) = Ce^{-x}$, tratamos de mirar para general $f$ de la forma $f(x) = C(x)e^{-x}$. Entonces $$g(x) = f'(x)+f(x) = C'(x)e^{-x}-C(x)e^{-x} + C(x)e^{-x} = C'(x)e^{-x}$$implies that $C(x) = \int e^xf(x)\,{\rm d}x$, and of course $$f(x) = e^{-x}\int_0^x e^tg(t)\,{\rm d}t$$is smooth if $g$ es.

Answer 2

¿Has visto factores integradores antes?

Si desea $f^\prime(x) + f(x) = g(x)$ , entonces multiplique por $e^x$ para obtener $$ (e^x f(x))^\prime =e^xf^\prime(x) + e^x f(x) = e^x(f^\prime(x) + f(x)) = e^xg(x)$$ should let you find an $ f $ que funciona.