Si $x = \frac{\sqrt{111}-1}{2}$ calcula $(2x^{5} + 2x^{4} - 53x^{3} - 57x + 54)^{2004}$ .

Question

Ya tengo dos soluciones para este problema, es para estudiantes de secundaria con un nivel avanzado. Me gustaría saber si hay enfoques mejores o más creativos sobre el problema. Aquí están mis soluciones:

1. (1ª solución): Observe que $$x^{2} = (\frac{\sqrt{111}-1}{2})^{2} = 28 - \frac{\sqrt{111}}{2}$$ $$x^{3} = x \cdot x^{2} = \left( \frac{\sqrt{111}}{2} - \frac{1}{2} \right) \left( 28 - \frac{\sqrt{111}}{2} \right) = 14 \sqrt{111} - 111/4 - 14 + \frac{\sqrt{111}}{4} = \frac{57 \sqrt{111}}{4} - \frac{167}{4} $$ $$x^{4} = (x^{2})^{2} = \frac{ 111 + 4 \cdot 784}{4} - 28 \sqrt{111} $$ $$x^{5} = x^{4} \cdot x = \left( \frac{ 111 + 4 \cdot 784}{4} - 28 \sqrt{111} \right)\left(\frac{\sqrt{111}-1}{2} \right) = \left( \frac{ 3247 }{4} - 28 \sqrt{111} \right) \left(\frac{\sqrt{111}-1}{2} \right) $$ $$ = \sqrt{111}\frac{3359}{8} - \frac{15679}{8} $$

Así que tenemos $$ 2x^{5} + 2x^{4} - 53x^{3} - 57x + 54 = $$ $$(\sqrt{111}\frac{3359}{4} - \frac{15679}{4}) + (\frac{ 111 + 4 \cdot 784}{2} - 56 \sqrt{111}) - 53 (\frac{57 \sqrt{111}}{4} - \frac{167}{4}) - 57 (\frac{\sqrt{111}-1}{2}) + 54 $$ $$ = \sqrt{111} (\frac{3359}{4} - \frac{3359}{4}) - \frac{15679}{4} + \frac{ 111 + 4 \cdot 784}{2} + \frac{53 \cdot 167}{4} + \frac{57}{2} + 54 $$ $$ = - \frac{15679}{4} + \frac{ 222 + 8 \cdot 784}{4} + \frac{53 \cdot 167}{4} + \frac{114}{4} + \frac{216}{4} $$ $$ = - \frac{15679}{4} + \frac{ 5600 + 894 }{4} + \frac{5300 + 3180 + 371 }{4} + \frac{114}{4} + \frac{216}{4} $$ $$ = - \frac{15679}{4} + \frac{ 6494 }{4} + \frac{8851}{4} + \frac{114}{4} + \frac{216}{4} $$ $$ = -4/4 = -1, $$ y la respuesta es $ (-1)^{2004} = 1.$ La solución anterior requiere un cálculo bastante tedioso. A continuación se presenta una solución alternativa.

2. (2ª solución): Observe que $x = \frac{\sqrt{111}-1}{2}$ es equivalente a $$ (2x + 1)^{2} = 111$$ $$ 4x^{2} + 4x + 1 = 111 $$ $$ 4x^{2} + 4x - 110 = 0$$ $$ (2x^{2} + 2x - 55) = 0 \:\: ........ \:\: (1)$$ Multiplique $(1)$ con $x^{3}$ obtenemos $$ (2x^{5} + 2x^{4} - 55x^{3}) = 0 $$ Multiplique $(1)$ con $x$ obtenemos $$ (2x^{3} + 2x^{2} - 55x) = 0 $$ Suma ambos y obtenemos: $$ 2x^{5} + 2x^{4} - 53 x^{3} + 2x^{2} - 55x = 0 \:\: ........ \:\: (2)$$ y ahora tenemos los 3 primeros términos de la forma que queremos calcular. Resuma $(2)$ con $(1)$ para conseguirlo: $$ 2x^{5} + 2x^{4} - 53 x^{3} - 57x + 55 = 0 $$ $$ 2x^{5} + 2x^{4} - 53 x^{3} - 57x + 54 = -1$$ Así que la respuesta es $(-1)^{2004} = 1.$

Answer 1

Necesita división larga

Divide $$2x^5+2x^4-53x^3-57x+54$$ por $2x^2+2x-55$ expresar

$$2x^5+2x^4-53x^3-57x+54=q(x)\cdot(2x^2+2x-5)+r(x)$$ donde $q(x)$ es el cociente y $r(x)$ es el resto.

$\implies2x^5+2x^4-53x^3-57x+54=r(x)$ como $2x^2+2x-5=0$

Aquí $r(x)=-1$

Answer 2

Lo que hice fue equivalente a la división, o a tu segunda solución, pero fue lo siguiente.

Primero llegué a $2x^2+2x=55$ y lo multiplicamos por $x^3$ para que $2x^5+2x^4=55x^3$

Ahora he sustituido esto en: $$p(x)=2x^5+2x^4-53x^3-57x+55=55x^3-53x^3-57x+54=2x^3-57x+54$$

A continuación utilicé $55x=2x^3+2x^2$ dar $$p(x)=2x^3-55x-2x+54=2x^3-2x^3-2x^2-2x+54=-2x^2-2x+54=-55+54=-1$$

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A veces me resulta útil recordar que si estoy trabajando con un $x$ tal que $p(x)=q(x)$ puedo sustituir $p(x)$ y $q(x)$ en cualquier expresión que incluya $x$ . Formalmente esto funciona igual que la división polinómica por $p(x)-q(x)$ . Sin embargo, a veces es más flexible y fácil de aplicar.

Puede resultar que requiera cálculos más largos que un método más regular, pero tiene la ventaja de mantener las expresiones sencillas en cada etapa. Si no veo cómo avanzar más, siempre puedo recurrir a la división, pero puedo empezar con cualquier expresión más sencilla que haya derivado.