Encontrar agujeros en un subconjunto abierto no simplemente conectado de $\mathbb{C}$

Question

Sea $\mathbb{C}^{*} = \mathbb{C} \setminus \{0\}$ y $U \subset \mathbb{C}^{*}$ un subconjunto abierto, conexo, no simplemente conexo. ¿Podemos encontrar una holomorfa $f : U \to \mathbb{C}^{*}$ tal que $f_{\sharp} : \pi_1(U) \to \pi_1(\mathbb{C}^{*})$ (donde he omitido la elección del punto base) no es trivial?

Así que esencialmente queremos encontrar un agujero de $U$ y trasladar ese agujero al origen (al menos, este es el planteamiento que se me ocurre). Si pudiéramos encontrar una curva de Jordan dentro de $U$ que es homotópicamente no trivial, creo que podríamos hacer lo siguiente: esta curva de Jordan limita un disco (topológico). Es evidente que $U$ no puede contener todos los puntos de este disco, de lo contrario la curva sería homotópicamente trivial. Por tanto, tomemos un punto en el disco pero no en $U$ y considerar la traslación que lo envía al origen; creo que eso debería inducir algo no trivial en $\pi_1$ .

Sin embargo, no estoy seguro de que siempre podamos encontrar esta curva de Jordan. Por ejemplo, no parece ser cierto que cada elemento de $\pi_1(U)$ puede representarse mediante una curva de Jordan (imagine la figura $8$ como elemento de $\pi_1(\mathbb{C} \setminus \{0, 1\})$ ).

Answer 1

Por mi argumento en esta respuesta cualquier bucle de $U$ es homotópica (en $U$ ) a un bucle lineal a trozos. Con un poco de cuidado, también podemos hacer que este bucle nunca vuelva sobre el mismo segmento de línea, por lo que sólo se cruza a sí mismo un número finito de veces (esto debería ser fácil de ver en la prueba). Llamamos a este bucle lineal a trozos que no vuelve sobre sí mismo bien . Definir un intersección de un buen bucle $\gamma:[0,1]\to U$ ser un par $(s,t)\in[0,1]^2$ tal que $s<t$ et $\gamma(s)=\gamma(t)$ . Definir el complejidad de un buen bucle $\gamma:[0,1]\to U$ el número de intersecciones que tiene. Un buen bucle tiene una complejidad $1$ si es una curva de Jordan (ya que $(0,1)$ es siempre una intersección).

Supongamos $\gamma:[0,1]\to U$ es un bucle bueno no nulo-homotópico que tiene una complejidad mínima entre todos los bucles buenos no nulos-homotópicos en $U$ . Supongamos que $\gamma$ no es una curva de Jordan; entonces hay alguna intersección $(s,t)\neq(0,1)$ de $\gamma$ . Entonces el bucle obtenido restringiendo $\gamma$ a $[s,t]$ también es bueno y tiene menor complejidad que $\gamma$ por lo que debe ser nulohomotópico. Utilizando tal homotopía nula entre $s$ et $t$ y permanecer fijo fuera de $[s,t]$ obtenemos una homotopía de $\gamma$ al bucle que es igual a $\gamma$ fuera de $[s,t]$ y constante en $[s,t]$ . Contratación $[s,t]$ hasta un punto, entonces obtenemos un nuevo bucle bueno $\gamma'$ que es homotópica a $\gamma$ y tiene menor complejidad que $\gamma$ . Esto contradice la minimalidad de $\gamma$ .

Así $\gamma$ es una curva de Jordan que no es homotópica nula en $U$ y por tu argumento podemos obtener un mapa $U\to \mathbb{C}^*$ que no es trivial en $\pi_1$ . Nótese que para esto sólo se necesita el hecho de que una curva de Jordan lineal a trozos limita un disco, lo cual es mucho más elemental que el hecho correspondiente para curvas de Jordan arbitrarias.

Answer 2

Los buenos libros de texto sobre análisis complejo muestran que un conjunto abierto $\Omega\subseteq\mathbb C$ es simplemente conexa si y sólo si toda función holomorfa cero en ninguna parte sobre $\Omega$ tiene una raíz cuadrada holomorfa.

Así que si $\Omega$ es n simplemente conectada, existe una función holomorfa $f:\Omega\to\mathbb C^\times$ que no tiene raíz cuadrada holomorfa. Elige $z_0\in\Omega$ , poner $w_0=f(z_0)$ y consideremos el mapa $f_*:\pi_1(\Omega,z_0)\to\pi_1(\mathbb C^\times,w_0)$ . Si $f_*$ fueran triviales, el hecho de que el mapa $\exp:\mathbb C\to\mathbb C^\times$ es un recubrimiento universal implicaría que existe una función contínua $g:\Omega\to\mathbb C$ tal que $f(z)=\exp g(z)$ para todos $z\in\Omega$ y es fácil deducir que $g$ tendría que ser holomorfa. Pero entonces la función $\exp\tfrac12g(z)$ sería una raíz cuadrada de $f$ contradiciendo la forma en que elegimos esta última.

Answer 3

No se puede representar cada clase de homotopía con una curva de Jordon, pero siempre se puede representar una. La construcción es la siguiente. Tomemos un mapa $\gamma:I\to U$ con $\gamma(0)=\gamma(1)$ que representa una clase de homotopía no trivial. Encontrar un $\epsilon$ -bola alrededor $\gamma(I)$ en $U$ y tomar una aproximación polinómica dentro de esta vecindad. Los extremos no necesitan encontrarse, así que podemos conectarlos con una recta. Esto nos da una función polinómica a trozos, que se interseca a sí misma un número finito de veces. Si $\gamma_i:S^1\to U$ son todas las curvas obtenidas rompiendo nuestra curva cerrada a lo largo de sus auto-intersecciones, entonces tenemos $\prod_i \gamma_i=\gamma$ por lo que alguna curva cerrada es trivial, pero no tiene auto-intersecciones por suposición, lo que da el resultado deseado.