¿Cómo probar que para cualquier$n\in N$, existe un subconjunto de línea real que tiene un conjunto derivado no vacío$(n-1)^{th}$ pero un conjunto derivado$n^{th}$ vacío?

Question

¿Cómo podemos probar que para cualquier entero positivo n, es decir,$n\in \mathbb{N}$, existe un subconjunto de números reales, es decir,$E\subset \mathbb{R}$, que tiene% no% vacío% #% conjunto derivado pero un% # vacío % #% conjunto derivado?

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Dibuje ordinal$\omega^{n-1}$ en la línea real. Aquí está la imagen de $\omega^2$ . Puede ver que su conjunto derivado es$\omega$ y el conjunto derivado de$\omega$ es solo un punto.

Answer 2

Deje que$X\subset \mathbb{R}$ sea cualquier conjunto de reales que contenga solo puntos aislados. Luego podemos definir una función$d:X\rightarrow\mathbb{R}_{>0}$ tal que los intervalos$(x, x + d(x))$ se separen mutuamente para todos$x\in X$. El conjunto $$ X '= \ bigcup_ {x \ en X} \ left \ {x + d (x), x + \ frac {1} {2} d (x), x + \ frac {1} {3} d (x), \ ldots \ right \} $$ ha derivado el conjunto$X$ y contiene solo puntos aislados. Comenzando con$X_1=\{0\}$, entonces, puede generar un conjunto con la propiedad deseada por inducción usando$X_{n+1}=X_{n}'$.

Answer 3

Solo aplique el siguiente lema$n$, comenzando con el conjunto vacío:

Lemma Dado cualquier conjunto cerrado$X\subseteq\mathbb R$, podemos construir un conjunto cerrado$Y\subseteq\mathbb R$ tal que$X$ es el conjunto derivado de$Y$.

Al probar el lema, puede ser útil considerar$\mathbb R\setminus X$ como una unión de intervalos abiertos desarticulados.