Funciones absolutamente continuas y el teorema fundamental del cálculo.

Question

La Wikipedia dice que la función

$$\begin{equation} f(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{if } x = 0 \\ x\sin(1/x) & \mbox{if } x \neq 0 \end{casos} \end{equation} $$

no es absolutamente continua en cualquier intervalo finito que contiene el origen. Su derivado al $x\neq 0$ es fácil de calcular:

$$f'(x) = \sin(1/x)-\frac{\cos(1/x)}{x}$$

Wikipedia dice eso si $f$ tiene un derivado $f'$ en casi todas partes, la derivada es Lebesgue integrable y $f(x) = f(0) +\int_0^x f'(t)dt$ $f$ es absolutamente continua.

Ya que el ejemplo que les he dado de arriba no es absolutamente continua y ha $f'$ define casi en todas partes significa que la derivada no es Lebesgue integrable? Presumible hay una manera de ver que cerca del origen de la positiva y la zona de la zona en negativo de $f'$ son infinito? De modo que $f$ no puede romper el teorema que indica la equivalencia del teorema fundamental del cálculo y absolutamente continuidad.

Answer 1

Estás en lo correcto. $f'$ no es integrable en cualquier intervalo que contiene el origen. Para ver esto, ya que $f'$ es una función impar, es suficiente para mostrar que $f'$ no es integrable en a $[0,a]$ por cada $a>0$.

Tenga en cuenta que para cualquier $0<x<y$, $$\int_x^y|f'(t)|dt\ge|\int_x^yf'(t)dt|=|f(y)-f(x)|.$$ Por lo tanto, si $n\in\mathbb{N}$$a\ge\frac{1}{n\pi}$, luego $$\int_0^a|f'(t)|dt\ge \sum_{k=n}^\infty\int_{\frac{1}{(k+\frac{1}{2})\pi}}^{\frac{1}{k\pi}}|f'(t)|dt\ge\sum_{k=n}^\infty\big|f(\frac{1}{k\pi})-f(\frac{1}{(k+\frac{1}{2})\pi})\big|=\sum_{k=n}^\infty\frac{1}{(k+\frac{1}{2})\pi}=+\infty,$$ es decir, $f'$ no es integrable en $[0,a]$. $\quad\square$

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Comentario: $\sum_{k=n}^\infty\big|f(\frac{1}{k\pi})-f(\frac{1}{(k+\frac{1}{2})\pi})\big|=+\infty$ implica que el $f$ no es de variación acotada en $[0,a]$, es decir, el argumento anterior muestra que si $f$ es absolutamente continua, entonces debe ser que es de variación acotada.