Convergencia de$f(t)= \frac{\exp(it)}{t^a}$

Question

Deje$$f(t)= \frac{\exp(it)}{t^a}.$ $

¿Para qué valores de$a$ converge la integral$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(t)dt$?

• Para$a>0$ está claro con una integración por partes

Desafortunadamente, en el caso$a<0 $ no pude probar (o no) la convergencia.

Probé una IPP, equivalente, dominación sin éxito.

¿Algunas ideas?

Gracias

Answer 1

Presumiblemente,$a\in \mathbb{R}$. Claramente, si$a\leq0$, la integral diverge como$\int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi}\dfrac{\sin t}{t^a}dt$ no va a$0$. Si$a\geq1$ la integral vuelve a divergir como$\int_0^1\frac{\cos x}{x^a}dx$ diverge.

Lo que queda es$1>a>0$ En este caso, divida la región en intervalos de tamaño$\pi$ Tomando la parte imaginaria, tenemos,$$\int_0^\infty\dfrac{\sin x}{x^a}dx=\sum_{n=0}^\infty\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\dfrac{\sin x}{x^a}$ $ Puede verificar que esto forma una serie alterna con términos decrecientes . De ahí que converja. Del mismo modo, la integral con cos también converge, y por lo tanto todo converge.