Demuestre que f es sobreyectivo

Question

Así que estoy teniendo un pequeño problema para probar esto. ¿Puede alguien ayudarme?

Dejar $A$, $B \subseteq E$. Además, que$$f: \mathscr{P}(E) \to \mathscr{P}(A) \times \mathscr{P}(B) se defina por

PS

Demuestre que$$f: X \mapsto (A \cap X, B \cap X)$es el superávit iff$f$.

Durante un tiempo intenté hacer una prueba, pero parece que no estoy llegando a ninguna parte.

Soy nuevo en la teoría de conjuntos

Answer 1

Suponer que $A\cap B\neq \emptyset$. Entonces existe$x\in A\cap B$. Si es así $f(X)=(A,\emptyset)$. Pero$X\cap B=\emptyset$ así que$x\not\in X$ y$X\cap A=A$. Esto es una contradicción.

Para la otra dirección, suponga que$A\subseteq X$. Deje$x\in X$ Entonces, si$A\cap B=\emptyset$,$(C,D)\in P(A)\times P(B).$

Answer 2

Pista: Probar lo contrario.

Por ejemplo, si$A \cap B \neq \emptyset$, entonces es imposible obtener$(A_1, \emptyset)$ para algunos$A_1 \subset A$ con$A_1$ no vacío.

Explícitamente, tome$E = \{1,2,3\}$ y$A = \{1,2\}$ y$B=\{2,3\}$. Entonces no hay$X \in \mathscr{P}(E)$ para que$f(X) = (\{2\}, \emptyset)$. Recuerda que para cualquier conjunto$R$,$\emptyset \in \mathscr{P}(R)$ de forma predeterminada.

Si$A \cap B = \emptyset$, está claro que$f$ es supuestos. Seguramente tome$(A_1,B_1) \in \mathscr{P}(A) \times \mathscr{P}(B)$, luego deje que$X = A_1 \cup B_1 \in \mathscr{P}(E)$, y $$f(A_1 \cup B_1) = (A_1 \cap (A_1 \cup B_1), B_1 \cap (A_1 \cup B_1))$$ and using the fact that $A \ cap B = \ emptyset$ as well as the rule $$A_1 \cap (A_1 \cup B_1) = (A_1 \cap A_1) \cup (A_1 \cap B_1),$$ we see that this is precisely $( A_1, B_1)$.