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Question

Encuentra$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{n^3+1}-\sqrt{n^2+1}$ $

Ya intenté usar el teorema de Sqeeze en él, pero simplemente no pude encontrar algunas series superiores razonables para él, solo más bajas:

$$n\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^3}}-n\sqrt{1+\frac{1}{n ^2}}$ $$$n\left(\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^3}}-\sqrt{1+\frac{1}{n ^2}}\right)$ $$$\left(\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^3}}-\sqrt{1+\frac{1}{n ^2}}\right) \leq n\left(\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^3}}-\sqrt{1+\frac{1}{n ^2}}\right)$ $

¿Hay alguien que pueda darme una pista sobre cómo resolverlo?

Answer 1

PS

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Use la fórmula / identidad$$\lim_{n \to \infty} (\sqrt[3]{n^3+1}-\sqrt{n^2+1})=$ $

con, por ejemplo,$$=\lim_{n\to \infty}((\sqrt[3]{n^3+1}-n)-(\sqrt{n^2+1}-n))=$,$$a^k-b^k=(a-b)(a^{k-1}+a^{k-2}b+\cdots+b^{k-1}), k\ge 2, k\in\mathbb Z, a,b\in\mathbb R$,$a=\sqrt[3]{n^3+1}$, etc.

PS

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Answer 2

Considere $$ f (x) = \ sqrt [3] {1 + x ^ 3} - \ sqrt {1 + x ^ 2} $$ Luego $$ f '(x) = \ frac {3x ^ 2} {3 \ sqrt [3] {(1 + x ^ 3) ^ 2)}} - \ frac {2x} {2 \ sqrt {1 + x ^ 2}} $$ y por lo tanto$f'(0)=0$. Por lo tanto, $$ 0 = f '(0) = \ lim_ {x \ to0 ^ +} \ frac {\ sqrt [3] {1 + x ^ 3} - \ sqrt {1 + x ^ 2}} {x} = \ lim_ {t \ to \ infty} \ bigl (\ sqrt [3] {t ^ 3 + 1} - \ sqrt {t ^ 2 + 1} \ bigr) $$ con la sustitución$t=1/x$.

Answer 3

Encuentra$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{n^3+1}-\sqrt{n^2+1}$ $

$$n\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^3}}-n\sqrt{1+\frac{1}{n ^2}}$ $$$n\left(\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^3}}-\sqrt{1+\frac{1}{n ^2}}\right)$ $$$n\left(\left({1+\frac{1}{n^3}}\right)^{1/3}-\left({1+\frac{1}{n^2}}\right)^{1/2}\right)$ $

Como$n \to \infty$, esto puede ser aproximado como

PS

PS

PS

Como$$n\left(\left({1+\frac{1}{3n^3}+other terms}\right)-\left({1+\frac{1}{2n^2}}+other terms\right)\right)$, todos los términos se convierten en 0. Entonces la respuesta es 0.