Vamos a analizar esta situación.
El argumento de que si $\langle r_i\mid i\in I\rangle$ es una secuencia de números reales positivos, y $\sum r_i<\infty$, entonces hay sólo un número finito de $i$'s tal que $r_i\geq\frac1n$, para cualquier $n\in\Bbb N$, sostiene sin el axioma de elección, por supuesto. Y así llegamos a la conclusión de que $|\{r_i\mid i\in I\}|\leq\aleph_0$, ya que el contable de la unión finita de conjuntos de números reales es contable, como el orden en los números reales bien-ordena de manera uniforme (la finita de conjuntos).
Pero, por supuesto, $I$ todavía pueden ser innumerables. Más específicamente, si $I$ es un conjunto tal que para algunos $f\colon I\to\omega$, la preimagen de cada una de las $n$ es finito, entonces $I$ índice de una secuencia convergente. Por ejemplo, por tener $x_i=\left(\frac12\right)^{n\cdot m+1}$ siempre $f(i)=n$$|f^{-1}(n)|=m$. O algún otro convenientemente pequeño número.
Y, por supuesto, es coherente que no son tales conjuntos. Podemos ingeniero de ellos tan libremente como nos gustaría. Es decir, si $g\colon\omega\to\omega$ es cualquier función cuyos valores son todos positivos, entonces podemos organizar un conjunto de $A$ que es el contable de la unión finita de conjuntos de $A_n$ donde $|A_n|=g(n)$, e $A$ es incontable, o más específicamente, Dedekind-finito (no es tan impresionante cuando se $A$ es Dedekind-infinito, aunque podemos hacer que en algún grado).
Por otro lado, si $I$ es tal que no hay ninguna función de $I$ $\omega$con un límite de fibras, a continuación, $I$ no puede posiblemente índice de una serie convergente, ya que para algunos $n$, los números más grandes de $\frac1n$ aparecerá infinitamente a menudo. Y, por tanto, la suma tiene que ser infinita.
Una última observación es que los contables de la opción no es necesaria para demostrar que la suma es independiente del orden. En los casos anteriores, donde el conjunto es el contable de la unión finita de conjuntos y es Dedekind-finito, entonces el conjunto de índices puede ser linealmente ordenado. Y así no hay forma razonable a tal fin un conjunto de todos modos. Por no hablar de que contando el número de veces que cada número aparece, siempre se puede reorganizar la serie para ser indexados por $\omega$ como una llanura ol' de la serie de números positivos.
Y si realmente insistir en la destrucción excesiva el problema, entonces usted puede notar que esto significa que usted puede codificar la secuencia de reales en un solo $x$, y en $L[x]$ que es un modelo de elección de la suma converge.
Los siguientes documentos podrían ser de su interés:
Brunner, Norbert. "La compacidad secuencial y el axioma de elección." La catedral de Notre Dame Diario de la Lógica Formal 24, no. 1 (1983) 89-92.
Brunner, Norbert. "Garnir el sueño de espacios con bases de Hamel." Arch. De matemáticas. Logik Grundlag. 26 (1987), no. 3-4, 123-126.
Brunner, Norbert. "Lineal operadores y Dedekind conjuntos." De matemáticas. Japon. 31 (1986), no. 1, 1-16.
