Lema de Capelli para polinomios

Question

He visto este lema dado sin prueba en algunos artículos (ver ejemplo aquí ), y supongo que es bien conocido, pero no he podido encontrar una referencia en línea para una prueba.

Dice así:

Sea $K$ sea un campo y $f,g \in K[x]$ . Sea $\alpha$ sea una raíz de $f$ en el cierre algebraico de $K$ . Entonces $f \circ g$ es irreducible sobre $K$ sólo si $f$ es irreducible sobre $K$ y $g-\alpha$ es irreducible sobre $K(\alpha)$ .

¿Puede demostrarlo?

Answer 1

Sea $\theta$ sea una raíz de $g-\alpha$ . En $g(\theta)=\alpha$ obtenemos que $f(g(\theta))=0$ . Ahora todo es cuestión de extensiones de campo. Observe que $[K(\theta):K]\le \deg (f\circ g)=\deg f\deg g$ , $[K(\theta):K(\alpha)]\le \deg(g-\alpha)$ $=$ $\deg g$ y $[K(\alpha):K]\le\deg f$ . Cada desigualdad se convierte en igualdad si el polinomio correspondiente es irreducible. Pero $[K(\theta):K]=[K(\theta):K(\alpha)][K(\alpha):K]$ y luego $f\circ g$ es irreducible sobre $K$ si $g -\alpha$ es irreducible sobre $K(\alpha)$ y $f$ es irreducible sobre $K$ .