desigualdad de Cauchy-Schwarz

Question

Sea$a_1,a_2,\ldots ,a_n$, sean números reales positivos y S =$a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n$. Usa la desigualdad de Cauchy-Schwarz para demostrar que

PS

Sugerencia: aplique la desigualdad a$$\sum_{i=1}^{i=n}\frac{a_i}{S-a_i}\geqslant \frac{n}{n-1}$ y$ and $ para un caso y$\sum_{i=1}^{i=n}\frac{S-a_i}{a_i}\geqslant n(n-1)$ y$\sum \frac{S}{a_i}$ para el otro caso.

Answer 1

Desigualdad de Cauchy Schwarz:

$$ \begin{align*} \left( \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\dots +\frac{1}{a_n}\right)\left( a_1+a_2+\dots+a_n \right) &\geq \left(\frac{1}{\sqrt{a_1}}\sqrt{a_1}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}\sqrt{a_2}+\dots +\frac{1}{\sqrt{a_n}}\sqrt{a_n} \right)^2 \\\ &\geq \left( 1+1+\dots+1\right)^2 = n^2 \end {align *} $$

que cuando se aplica aquí $$ \begin{align*} \displaystyle\sum_{i=1}^n \frac{S}{a_i} &= \left( \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\dots +\frac{1}{a_n}\right)S \geq n^2\\ \end {align *} $$

Por lo tanto $$ \begin{align*} \displaystyle\sum_{i=1}^n \frac{S-a_i}{a_i} &= \displaystyle\sum_{i=1}^n \frac{S}{a_i} -n\\ &\geq n^2 - n = n(n-1) \tag{1} \end {align *} $$

Del mismo modo, reescribiendo la otra suma.

$$ \begin{align*} \displaystyle\sum_{i=1}^n \frac{a_i}{S-a_i} &= \frac{S-\displaystyle\sum_{j \neq 1}a_j}{\displaystyle\sum_{j \neq 1}a_j} + \frac{S-\displaystyle\sum_{j \neq 2}a_j}{\displaystyle\sum_{j \neq 2}a_j}+\dots +\frac{S-\displaystyle\sum_{j \neq n}a_j}{\displaystyle\sum_{j \neq n}a_j}\\ &= \displaystyle\sum_{i=1}^n \left(\frac{S}{\displaystyle\sum_{j \neq i}a_j}\right)-n \tag{2} \end {align *} $$

También desde

$$ \ displaystyle \ sum_ {j \ neq 1} a_j + \ displaystyle \ sum_ {j \ neq 2} a_j + \ dots + \ displaystyle \ sum_ {j \ neq n} a_j = (n-1) S $$

Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz $$ \begin{align*} \displaystyle\sum_{i=1}^n \left(\frac{1}{\displaystyle\sum_{j \neq i}a_j}\right)(n-1)S \geq n^2\\ \Longrightarrow \displaystyle\sum_{i=1}^n \left(\frac{1}{\displaystyle\sum_{j \neq i}a_j}\right) \geq \frac{n^2}{(n-1)S} \end {align *} $$

Desde $(2)$

$$ \begin{align*} \displaystyle\sum_{i=1}^n \frac{a_i}{S-a_i} &\geq \left(\frac{n^2}{n-1}\right) - n\\ &\geq \frac{n}{n-1} \end {align *} $$

Answer 2

Lados de la izquierda son los valores de $\sum f(p_i)$ $\sum g(p_i)$ $\sum p_i = 1$ ser constante, donde

$f(x) = \dfrac{x} {1-x}$ $g(x) = \dfrac 1 x - 1$, y $p_i = \dfrac {a_i} S $.

Ambas funciones son convexas para $x>0$, de modo que la suma de los valores es minimizado cuando todos los argumentos $p_i$ (y por tanto de todas las $a_i$) son iguales.

Otra línea de argumentación que hace obvio es el Reordenamiento de la Desigualdad: el promedio de la secuencia de $x_i y_i$ es mayor o igual al producto de los promedios de $x_i$ $y_i$ si las dos secuencias están en el mismo orden. En la primera desigualdad de las secuencias de $a_i$ $(S-a_i)^{-1}$ están en el mismo orden, y en la segunda desigualdad, $(S-a_i)$ $1/a_i$ están en el mismo orden. Los promedios de $a_i$$(S-a_i)$$S/n$$(n-1)S/n$, que depende sólo de $S$. Los otros promedios de plomo para el problema estándar de minimizar la suma de los recíprocos dada la suma de las variables, que ocurre cuando los sumandos son iguales.