¿Cuál es la definición ordinaria de un punto de encuentro?

Question

Supongamos que $f:\mathbb{R}^2 \to\mathbb{R}$ es un $\mathcal{C}^2$ tal que ambas derivadas parciales de primer orden desaparecen en el origen. ¿En qué circunstancias dirías que $f$ tiene un punto de silla en el origen?

Si el hessiano de $f$ es no singular, entonces esta pregunta no es interesante, así que supongo que realmente estoy preguntando cuando una función $f$ que tiene un punto estacionario en el origen y cuyo hessiano es singular tiene un punto de silla de montar. Consideremos como ejemplo el evidente punto de silla de montar $f(x,y) = x^4 - y^4$ el caso un poco menos obvio de $f(x,y) = x^3-y^3$ y el caso muy peculiar de $f(x,y) = \sin(1/(x^2 + y^2))\exp(-1/(x^2+y^2))$ ampliado a $\mathbb{R}^2$ al establecer $f(0,0)=0$ .

Answer 1

Un punto de silla de montar es un punto crítico que no es un máximo o un mínimo local; en otras palabras, un punto $p$ con $\nabla f(p)=0$ y la propiedad de que para todo $\epsilon>0$ existen dos puntos $q_1$ y $q_2$ con $\|p-q_1\|<\epsilon$ , $\|p-q_2\| < \epsilon$ y $f(q_1) < f(p) < f(q_2)$ .

Si $f$ es sólo $C^2$ no hay manera de caracterizar tales funciones mirando sólo a $f$ de los derivados en $p$ (ya que, como señalas, todas las apuestas están fuera de lugar en los puntos en los que tanto el gradiente como el hessiano desaparecen). Tal vez se podría decir más si $f$ es suave.