Índice de ideal principal en una sustracción de$\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$

Question

Deje que$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ y que$\mathcal{O}_K$ denote el anillo de enteros de$K$. Si$\mathcal{O} = \{a+ b3\sqrt{-3}| a,b\in \mathbb{Z} \}$ (es decir,$\mathcal{O}$ es el orden del conductor 3 en$\mathcal{O}_K$), ¿cuál es el índice del principal ideal$\langle 3\sqrt{-3}\rangle$ en$\mathcal{O}$?

¿Cómo puedo generalizar este método para el ideal principal en otras órdenes o campos cuadráticos?

Answer 1

El índice de un ideal principal$\left<\alpha\right>$ en el anillo de enteros de un campo numérico$K$ es$|N(\alpha)|$, el valor absoluto de la norma de$\alpha$. Lo mismo es cierto para cualquier orden. En su ejemplo, el índice es$N(3\sqrt{-3})=27$.

Para ver esto, tenga en cuenta que cualquier orden es un módulo gratuito sobre$\Bbb Z$ de rango$n=|K:\Bbb Q|$. El mapa$\phi:x\mapsto\alpha x$ tiene un determinante$N(\alpha)$ considerando$\cal O$ como un módulo gratuito de$\Bbb Z$, por lo que la imagen de$\phi$ en$\cal O$ tiene índice$|N(\alpha)|$.