Según Wikipedia, el factorial sólo se define para los enteros no negativos. ¿Cómo es posible que Spotlight, la calculadora de Windows y el motor de búsqueda de Google den como resultado $\sqrt\pi$ si trata de resolver $(-0.5)!$ ?
Respuestas
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La función factorial ordinaria puede extenderse, de forma esencialmente única, a una función definida en todas partes excepto en los enteros negativos. Esta extensión preserva la importante $f(x+1) = (x+1)f(x)$ que caracteriza el factorial. (Véase Extensión del factorial a valores no enteros para más detalles).
Esta función ampliada se define en $-\frac12$ y su valor allí es $\sqrt\pi$ .
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Una pista: $\Gamma(n)=(n-1)!= \int_0^\infty x^{n-1}e^{-x}\, \mathrm{d}x$ así que $(-0.5)!=(0.5-1)!=\Gamma(0.5)=\int_0^\infty x^{-0.5}e^{-x}\, \mathrm{d}x=\int_0^\infty \frac{1}{\sqrt x}e^{-x}\, \mathrm{d}x$ ahora solo debes probar que el valor anterior es igual a $\sqrt \pi$ . Por cierto, es mejor utilizar el término "evaluar" o "calcular" en lugar de "resolver", porque en realidad no podemos "resolver" un número.
