Ley distributiva infinita

Question

Esto está relacionado con un anterior post de la mina y es a partir de un resultado en mi libro. Tengo el siguiente igualdad: $$p(x)=\sum_{k_i\ge 0}\left(\frac{x^{\sum_{i=1}^\infty ik_i}}{\prod_{i=1}^\infty k_i!(i!)^{k_i}}\right)$$ where the summation runs over all sequences $k_1,k_2\cdots$ de enteros no negativos que contiene un número finito distinto de cero entradas. La siguiente frase en el libro es

En consecuencia,$p(x)=\prod_{i=1}^\infty \left(\sum_{k_i=0}^\infty \frac{x^{ik_i}}{k_i!(i!)^{k_i}}\right)$.

No me queda claro cómo esta frase de la siguiente manera a partir de la expresión anterior para $p(x)$.

Mi intento: Si $(a_1,a_2\cdots),(b_1,b_2,\cdots)$ son naturales secuencias con un número finito distinto de cero términos, a continuación, la primera expresión de $p(x)$ contiene términos como"$+\cdots\left(\frac{x^{a_1}}{a_1!1!^{a_1}}.\frac{x^{2a_2}}{a_2!2!^{a_2}}.\frac{x^{3a_3}}{a_3!3!^{a_3}}\cdots\right)\cdots+\left(\frac{x^{b_1}}{b_1!1!^{b_1}}.\frac{x^{2b_2}}{b_2!2!^{b_2}}.\frac{x^{3b_3}}{b_3!3!^{b_3}}\cdots\right)+\cdots$. Si yo intento de distribuir esta cantidad como un producto, términos como $\frac{x^{a_1}}{a_1!1!^{a_1}}\frac{x^{2b_2}}{b_2!2!^{b_2}}$ etc aparecer lo que no parece estar ahí en la inicial $p(x)$.

Tengo la sensación de que esto no es tan difícil como estoy tomando. Si alguien sólo puede aclarar mi duda, voy a estar muy agradecido.

(Por el camino de $p(x)$ es la exponencial de la generación de la función de la Campana de números).

Answer 1

Su expresión para $p(x)$ es $$ \sum_{k_i\ge 0}\left(\frac{x^{\sum_{i=1}^\infty ik_i}}{\prod_{i=1}^\infty k_i!(i!)^{k_i}}\right)=\sum_{k_i\ge 0}\left(\prod_{i=1}^\infty\frac{x^{i k_i}}{k_i!(i!)^{k_i}}\right). $$ Ahora, cuando se expanda $\displaystyle \prod_{i=1}^\infty \left(\sum_{k_i=0}^\infty \frac{x^{ik_i}}{k_i!(i!)^{k_i}}\right)$ lo que hace es, para cada una de las $i$, escoja una $k_i$, luego se forma el producto de todos los correspondientes a $\displaystyle \frac{x^{ik_i}}{k_i!(i!)^{k_i}}$, lo que resulta en $\displaystyle \prod_{i=1}^\infty\frac{x^{i k_i}}{k_i!(i!)^{k_i}}$, y, a continuación, agregue todas estas expresiones, pero eso es precisamente lo que muestra la suma es. (Por supuesto, uno escoge $k_i=0$ en casi todas las $i$ en el orden de las expresiones de ser significativo.)

---

Como los comentarios con Brian indican, la confusión es tal vez más de la manera en que el autor es el uso de la notación. Tal vez es mejor escribir la primera expresión de la siguiente manera: Vamos a ${\mathbb N}^{\mathbb N}_*$ ser el conjunto de todas las funciones de $f:\mathbb N^+\to\mathbb N$ (todas las secuencias) tal que $f(n)=0$ para todos, pero un número finito de $n$. La primera suma es entonces $$ \sum_{f\in\mathbb N^{\mathbb N}_*}\left(\frac{x^{\sum_{i=1}^\infty i f(i)}}{\prod_{i=1}^\infty (f(i))!(i!)^{f(i)}}\right). $$ Por otro lado, el producto es $$ \prod_{i=1}^\infty \left(\sum_{j=0}^\infty \frac{x^{i j}}{j!(i!)^{j}}\right). $$ Cuando se expande, usted escoge para cada una de las $i$ $j$ (que, naturalmente, depende de $i$, así que se puede llamar $f(i)$), con el entendimiento de que usted escoja $j=0$ casi todo el tiempo. Etc.

La forma en que el libro escribe las expresiones, esencialmente la misma notación se utiliza para significar dos cosas completamente diferentes: en Primer lugar, $k_i\ge0$ significa que usted está buscando en un infinito de secuencias de $(k_1,k_2,\dots)$ con casi todos los $k_i$ $0$ (esto es sólo un $f\in{\mathbb N}^{\mathbb N}_*$). La segunda vez, en $\sum_{k_i=0}^\infty$, el autor ahora sólo significa $\sum_{n=0}^\infty$, pero es el uso de $k_i$ el índice, en lugar de $n$.

---

En la parte inferior de la misma, lo que el autor está utilizando es un generalizada distributiva de la ley, un caso más general de lo que podría ser que en una lo suficientemente completa, álgebra Booleana, $$ \bigwedge_{a\in X}\bigvee\{u_{a,i}\mid i\in I_a\}=\bigvee_{f\in\prod_{a\in X}I_a}\bigwedge\{u_{a,f(a)}\mid a\in X\} $$ para $X$ un conjunto no vacío, $I_a$ no está vacío índice de ajuste (para cada una de las $a\in X$) y arbitrario de elementos $u_{a,i}$ del álgebra de boole (por $a\in X, i\in I_a$), aunque dudo que este más general de la presentación, en realidad iba a aclarar las cosas. Esta familia de la generalizada distributiva leyes, por cierto, es una reformulación del axioma de elección.

---

Una observación final es que no es capricho que nos hace mirar sólo en funciones en $\mathbb N^{\mathbb N}_*$ más que todas las funciones $f:\mathbb N^+\to\mathbb N$: en realidad Estamos mirando todas las funciones, pero sólo los en ${\mathbb N}^{\mathbb N}_*$ "materia". Hay dos maneras de interpretar las expansiones que tenemos. Uno es puramente formal y, a continuación, la convención de que casi todos los $k_i$ debe $0$ es esencialmente una cuestión de definiciones, pero esta convención se adoptó debido a que de la segunda manera, es decir, podemos considerar las expansiones como la definición de funciones analíticas (para un intervalo apropiado donde convergen, típicamente $|x|<1$).

Tenga en cuenta que dada una secuencia $k_1,k_2,\dots$, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\prod_{i=1}^n \frac{x^{i k_i}}{k_i!(i!)^{k_i}}=0$ si $k_i\ne 0$ infinitamente a menudo (más precisamente, podemos decir que el producto se bifurca a $0$), fundamentalmente debido a $\displaystyle\frac{x^i}{i!}\to0$$i\to\infty$. Pero entonces la única secuencias de $f:i\mapsto k_i$ que contribuyen a la suma de los ${\mathbb N}^{\mathbb N}_*$, de todos modos.

Answer 2

Como una aclaración a la respuesta anterior, me gustaría señalar que la ley distributiva para el infinito productos $$ \prod_{i\in \mathbb N} \sum_{k\in \mathbb N} \alpha_{i,k} = \sum_{(k_i)_{i\in \mathbb N} \in \mathbb N^\mathbb N} \prod_{i\in \mathbb N} \alpha_{i,k_i} $$ ¿realmente requieren algún tipo de justificación y la hipótesis. No es una consecuencia de la ley distributiva para álgebras Booleanas. Esencialmente, esto es debido a que la adición y la multiplicación no son los mismos que los mínimos y máximos.

Un ejemplo sencillo para ver por qué hipótesis extra: Si $(\beta_k)_{k\in\mathbb N}$ es una secuencia de números positivos con $\sum_k \beta_k = 1$ y $$ \alpha_{i,k} = \beta_k, $$ a continuación, el lado izquierdo de la ley distributiva es igual a 1, mientras que el lado derecho es igual a 0.

La pregunta entonces se convierte en lo que está el derecho a la hipótesis, y ¿cómo se puede justificar la distributiva de la ley en virtud de esas hipótesis. No sé de cualquier lugar que este escrito está muy bien, pero si se supone que existe una secuencia $(k_i)_{i\in \mathbb N}\in \mathbb N^\mathbb N$ tal que la serie

$$ \sum_{i\in\mathbb N} \sum_{k\in\mathbb N} \begin{cases} |\alpha_{i,k}| & k \neq k_i\\ |\alpha_{i,k} - 1| & k = k_i \end{casos} $$

converge, entonces usted puede probar el distributiva de la ley mediante la aproximación por subconjuntos finitos. En tu ejemplo, la secuencia de $k_i = 0$ cumple esta condición.

He aquí una breve idea de cómo demostrar a la ley distributiva mediante la aproximación por subconjuntos finitos. Supongamos que $\alpha_i$ es absolutamente summable secuencia, y queremos demostrar que $$ \prod_{i\in\mathbb N} (1 + \alpha_i) = \sum_{F\subconjunto\mathbb N}\prod_{i\in F}\alpha_i, $$ donde la suma se toma sobre subconjuntos finitos de $\mathbb N$. Podemos demostrar esto de la siguiente manera: $$ \prod_{i\in\mathbb N} (1 + \alpha_i) = \lim_{N\to\infty} \prod_{i = 1}^N (1 + \alpha_i) = \lim_{N\to\infty} \sum_{F\subconjunto\{1,\ldots,N\}} \prod_{i\in F}\alpha_i = \sum_{F\subconjunto\mathbb N}\prod_{i\in F}\alpha_i. $$ La última igualdad se requiere algún tipo de justificación. Si los términos de $\alpha_i$ son no negativos, entonces es inmediato. Más generalmente, si la secuencia de $\alpha_i$ es absolutamente summable, entonces $$ \sum_{F\subconjunto\mathbb N} \left|\prod_{i\in F}\alpha_i\right| = \sum_{F\subconjunto\mathbb N}\prod_{i\in F}|\alpha_i| = \prod_{i\in\mathbb N} (1 + |\alpha_i|) < \infty, $$ es decir, la secuencia de $\left(\prod_{i\in F}\alpha_i\right)_{F\subset\mathbb N}$ es absolutamente summable, justificando el último paso.