Exterior poderes de espacio vectorial y kernel

Question

Deje $E$ ser un espacio vectorial y $A$ un subespacio de $E$. Deje $q$ ser un entero positivo. Entonces podemos definir un subespacio $\Lambda^q A$ de la $q$-ésima potencia exterior de $E$ por

$$ \Lambda^qA=span\{\ a_1\wedge\dots\wedge a_q\ |\ a_1,\dots,a_q\en\ \} $$

Por otro lado, suponga que $\varphi$ es una aplicación lineal de $E$ a $F$. Nosotros "exteriorizar" $\varphi$ para obtener una aplicación lineal de $\Lambda^q$ $\Lambda^qE$ a $\Lambda^qF$ satisfactorio

$$ \Lambda^q\varphi(e_1\wedge\dots\wedge e_q)=\varphi(e_1)\wedge\dots\wedge\varphi(e_q) $$

para todos los $e_1,\dots,e_q$$E$.

Ahora, si $A=Ker(\varphi)$, $\Lambda^qA$ es un subespacio de $Ker(\Lambda^q\varphi)$, pero la inclusión es, en general, estricta, ya que el descomponible elementos de la forma $a\wedge e_2\wedge\dots\wedge e_q$ también están en $Ker(\Lambda^q\varphi)$

Mis preguntas:

1. ¿Cómo puedo describir $Ker(\Lambda^q\varphi)$$A$?
2. Hay una forma sencilla de definir una aplicación lineal de $\Phi$, relativa a la $\varphi$, y cuyo núcleo es $\Lambda^qA$?

Eso son dos preguntas, pero no están estrechamente relacionados, por lo que creo que vale la pena tenerlos en el mismo lugar.

Answer 1

Respuesta 1:

El núcleo de $\wedge^n \phi$ es, precisamente, el antisimétrica el subespacio generado por los elementos que se describen. En particular, hemos $$ \ker \wedge^n\phi = \wedge \left(\wedge^{n-1} E\ \ derecho) $$

Respuesta 2:

Tal vez usted debería considerar el mapa $$ \Phi = \phi \wedge \left(\wedge^{n-1}\right) $$ donde $I$ denota la identidad de la asignación de más de $E$.

Este mapa es a veces denotado como $A^{[n]}$. Es de destacar que a $A^{[n]} = \frac {d}{dt} \wedge^{n}(I + tA)$. Bhatia se analiza el mapa brevemente en la sección I. 5 de su "Análisis de la Matriz", pero no dice mucho más acerca de eso.