Encontrar el límite común de $\frac{2}{1/a_n+1/b_n}$ $\sqrt{a_n b_n}$

Question

Deje $a_0=1$$b_0=2$, luego \begin{align} a_{n+1} &= \frac{2}{\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}}, \\ b_{n+1} &= \sqrt{a_n b_n}. \end{align}

Las secuencias de $(a_n)$ $(b_n)$ convergen al mismo límite.
Es posible encontrar la que es común el límite?

Sé $(a_n)$ es creciente y $(b_n)$ está disminuyendo.
Puedo demostrar que convergen al mismo límite, pero no veo cuál puede ser este límite.
Es el uso de un ordenador la única manera de encontrar este límite?
Hay un método teórico para encontrarlo?

Answer 1

El límite se llama el geométrico-media armónica. Verificación http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric%E2%80%93harmonic_mean