La invariancia de la canónica de la ecuación de Hamilton al añadir el tiempo total derivada de una función de $q_i$ $t$ a la de Lagrange

Question

El siguiente es el ejercicio 8.2 en la 3ª edición (y el ejercicio 8.19 en 2ª edición) de Goldstein de la Mecánica Clásica.

Agregar el tiempo total derivada de una función de $q_i$ y t para el Lagrangiano no va a cambiar la de Euler-Lagrange ecuación. De modo que si hacemos el siguiente cambio de Lagrange,

$$L'(q,\dot{q},t) = L(q,\dot{q},t) + \frac{dF(q_1,q_2,...,q_n,t)}{dt}$$ podemos conseguir $$ \frac{d}{dt}\frac{\partial{L'}}{\partial{\dot{q_i}}} - \frac{\partial{L'}}{\partial{q_i}} = 0 $$ de $$ \frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q_i}}} - \frac{\partial{L}}{\partial{q_i}} = 0 $$

¿Cómo podemos obtener la correspondiente ecuación de Hamilton? Esto es para probar $$ \dot{p'_i} = \frac{\partial{H'}}{\partial q_i} $$ $$ -\dot{q_i} = \frac{\partial{H'}}{\partial p'_i} $$

de

$$ \dot{p_i} = \frac{\partial{H}}{\partial q_i} $$ $$ -\dot{q_i} = \frac{\partial{H}}{\partial p_i} $$ donde $p'_i = \frac{\partial L'}{\partial \dot q_i}$.

Editar

El correspondiente $H'$ es $$ H' = \sum_k{p'_k \dot{q_k}} - L' $$ donde $p'_k = \frac{\partial L'}{\partial \dot q_k}$.

Answer 1

Como usted dice en los comentarios, $$ \frac{dF}{dt}=\frac{\partial F}{\partial q}\dot{q}+\frac{\partial F}{\partial t} $$ Así estallar esta en el Lagrangiano, $$ L'=L+\frac{\partial F}{\partial q}\dot{q}+\frac{\partial F}{\partial t} $$

El Hamiltoniano $H=p\dot q-L$ implica $$ H'=p'\dot{q}-L'=p\dot q+algo\etiqueta{1} $$ donde $something$ es para usted. Desde $p=\partial L/\partial \dot q$, entonces debemos asumir que $p'=\partial L'/\partial\dot q$. No es realmente necesario para este problema en particular, pero usted puede resolver por $p'$.

El formalismo Hamiltoniano los estados que $q$, $\dot q$ y $p$ son independientes, por lo que asumimos de manera similar que $q$, $\dot{q}$ y $p'$ son independientes; por lo tanto $\partial L/\partial p=0\to\partial L'/\partial p'=0$.

Así que ahora todo lo que tienes que hacer es resolver $$ \frac{\partial H'}{\partial p'}\,{\rm y}\,-\frac{\partial H'}{\partial q} $$ el uso de (1) para ver si la transformación en el Lagrangiano conserva el Hamiltoniano (pista: no lo hace). Tenga en cuenta también que yo asuma una sola coordinar $q$, realmente no hay mucho de una diferencia entre el$q_i$$i=1$$i\in(1,N)$.