Una aparente paradoja para Eigenstate Termalización Hipótesis (ETH)

Question

ETH sostiene que para que un sistema, todos sus autoestados thermalize. Para ser más específicos, considere la posibilidad de una energía eigenstate de la totalidad del sistema de $H|n\rangle=E_n|n\rangle$. Si el sistema completo está en este eigenstate, $\rho=\rho^{(n)}=|n\rangle\langle n |$. Indicar el sistema que estamos interesados en como $A$ y el resto del sistema como $B$, que es el medio ambiente. La reducción de la densidad de la matriz de $A$$\rho_A^{(n)}=\mathrm{Tr}_B\left(|n\rangle\langle n |\right)$. ETH estados que $\rho_A^{(n)}$ parece térmica: $\rho_A^{(n)}=\rho_A^{\mathrm{eq}}(T_n)$ donde $\rho^{\mathrm{eq}}(T) = Z^{-1}\exp(-H/k_BT)$ es el equilibrio térmico de la densidad de la matriz. $T_n$ es deternmined por la energía (densidad) de la eigenstate $E_n$.

Ahora, considere el estado fundamental del sistema completo $|0\rangle$.

• Ya que es un terreno del estado, el sistema completo debe ser la temperatura más baja posible, que es el cero de temperatura. Por lo tanto $\rho_A^{(0)}=\rho_A^{\mathrm{eq}}(T_0)$ es un equilibrio térmico en $T=0$, que es un estado puro, con sólo el estado del suelo.

• Sin embargo, supongamos $|0\rangle$ no es un producto del estado (que a menudo es el caso, por ejemplo, el superfluido el estado del suelo de Bose-modelo de Hubbard), de modo que la reducción de la densidad de la matriz de $A$ es un estado mixto.

Desde $\rho_A^{(0)}$ no puede ser puro y mixto, una contradicción que se produce. Lo que está mal con el argumento anterior?

Answer 1

Usted necesita tener cuidado acerca de cómo ir desde el sistema completo para el subsistema $A$. Se definen $\rho^\text{eq}(T) = Z^{-1} \exp(-H/T)$ como el estado térmico de todo el sistema, pero, a continuación, utilice $\rho_A^\text{eq}(T)$ sin definir cómo se están reduciendo la densidad de la matriz de todo el sistema sólo en el subsistema. Hay dos formas razonables para hacerlo:

(1) Usted podría proyectar $\rho^\text{eq}(T)$ en el subsistema: $\rho_A^\text{eq}(T) = \text{Tr}_B\ \rho^\text{eq}(T)$. En este caso, en el cero de temperatura $\rho^\text{eq}(T) = |0\rangle \langle 0 |$ es de hecho un estado puro, pero su parcial traza $B$ no es (necesariamente). En este caso, ETH es trivialmente cierto en cero de temperatura debido a que el (todo el sistema) estado puro $|0 \rangle \langle 0 |$ y el estado térmico son exactamente los mismos.

(2) Usted podría primer proyecto el Hamiltoniano en un truncado de Hamilton $H_A$ compatible sólo en el subsistema de $A$, luego exponentiate para obtener un aproximado de estado térmico $\rho_A^\text{approx}(T) = \exp(-H_A/T)\ /\ \text{Tr}(\exp(-H_A/T))$. El orden de proyección y exponenciación importante: esta no es la exacta reducción de la densidad de la matriz $\rho_A^\text{eq}(T)$ que ETH utiliza, porque ha perdido $H_B$ y el de los bonos de la conexión de los subsistemas $A$$B$. De hecho, la proyección procedimiento para tomar $H$ $H_A$ no está aún completamente definido, como se indica. Generalmente para las temperaturas altas, la $\rho_A^\text{approx}(T) \approx \rho_A^\text{eq}(T)$, pero en las bajas temperaturas de la aproximación falla.

Ver http://arxiv.org/abs/1503.00729 nca. (2a) y (2b) para más detalles.