Continua la función de la prueba, por definición,

Question

Probar que si $f$ está definido por $x\ge 0$$f(x)=\sqrt x$, $f$ es continua en cada punto de su dominio.

Definición de una función continua es:

Deje $A\subseteq\mathbb{R}$ y deje $f:A\to\mathbb{R}$. Denotar $c\in A$.

A continuación, $f(x)$ es continua en a $c$ fib para todos $\varepsilon>0$, $\exists$ $\delta>0$ tal que

$|x-c|<\delta\implies |f(x)-f(c)|<\varepsilon.$

Mi intento:

Sabemos que la función de $f: x\to \mathbb{R}$ donde $x\in [0,\infty)$ se define a ser $f(x)=\sqrt x$. Así, por $0\le x<\infty$, luego $|f(x)-f(c)|=|\sqrt x - f(c)|$ y no se puede continuar ya que no necesariamente saben lo $c$ es en este caso.

Answer 1

Vamos a partir de la definición que dio:

$f(x)$ es continua en a $c$ fib para todos $\varepsilon>0$, $\exists$ $\delta>0$ tal que

$|x-c|<\delta\implies |f(x)-f(c)|<\varepsilon.$

Dado $\varepsilon > 0$ debemos mostrar ese $\vert \sqrt x - \sqrt c \vert < \varepsilon$ que $x$ $c$ están lo suficientemente cerca.

$$\vert \sqrt x - \sqrt c \vert = \frac {\vert x - c \vert} {\vert \sqrt x + \sqrt c \vert} < \frac {\vert x - c \vert} {\sqrt c}$$ Por eso, $\delta = \varepsilon /\sqrt{c}$ va a hacer.

Como señala Ian, el argumento de arriba falla por $c = 0$. Para $c = 0$, dado $\varepsilon >0$, $\delta = \varepsilon^2$ sería suficiente.

Answer 2

user62089 la respuesta no es del todo correcto. En $c \neq 0$, user62089 del trabajo demuestra que $\delta = \varepsilon \sqrt{c}$ es suficiente. En $c=0$ tiene una situación un poco diferente: usted desee $\delta>0$, de modo que $\sqrt{x}<\varepsilon$ $x<\delta$. $\delta=\varepsilon^2$ los trabajos para este propósito.

Answer 3

La respuesta anterior no es una respuesta. Tratamos de demostrar que la raíz cuadrada de la función es continua en el punto de $c=0$ para la "elección" de las $\delta$ dada arriba y ver el extraño mundo que terminan en. Más frustrante, la gente que da las respuestas hacen más grandes errores o tener grandes confusiones acerca de la continuidad de la persona que solicita la continuidad: para una explicación detallada sobre cómo mostrar que la raíz cuadrada de la función es continua, aquí es un archivo Pdf que da un ejemplo detallado. ENLACE