Dominio de $\frac{1}{\frac{1}{x}}$

Question

Deje $f(x)=\frac{1}{x}$, luego tenemos a $f^{-1}(x)=\frac{1}{x}$. Por lo $f(f^{-1})=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x$.

Mi pregunta es, ¿cuál es el dominio de $f(f^{-1})(x)$? ¿es todo? o todo, pero igual a cero?

A continuación, si dibujamos la gráfica de $\frac{1}{\frac{1}{x}}$ ¿le parece? Se va a ver igual que $y=x$ o $y=x$ con el origen excluidos?

He intentado trazar a través de google, el resultado es exactamente igual a $y=x$ sin el origen eliminado. Pero, ¿por qué? Creo que de acuerdo a la regla cuando nos componer dos funciones en este caso, el origen debe ser eliminado.

Gracias por aclarar mi confusión.

Answer 1

Es un problema de definición de la función. Cada función no está dada por la relación $f$ pero por tres cosas:

1) un conjunto $A$, el dominio;

2) un conjunto $B$, el codominio;

3) relación $R$ que es un subconjunto de a $A\times B$ y tiene la propiedad de que es una función, es decir, para cada una de las $x\in A$ no es exactamente un par de $(x,y)\in R$.

Así, una función realmente es un triple $(A,B,R)$.

En su caso, las funciones de $f(x)=1/(1/x)$ $g(x)=x$ son diferentes porque el dominio es diferente. Se les puede ver por las (diferentes) trillizos

\begin{equation} f:(\mathbb{R}\setminus\{0\}, \mathbb{R},R_1)\qquad\text{and}\qquad g:(\mathbb{R}, \mathbb{R},R_2) \end{equation} donde \begin{equation} R_1=\{(x,y)\in(\mathbb{R}\setminus\{0\})\times\mathbb{R}:x=y\}\\ R_2=\{(x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}:x=y\} \end{equation}

Answer 2

Un cociente es definido cuando su numerador y denominador son definidos y el denominador es distinto de cero.

El cociente $\frac1{\frac1x}$ se define al $1$ está definido (siempre fiel) y $\frac1x$ está definido, y $\frac1x$ es distinto de cero (siempre cierto).

El cociente $\frac1x$ se define al $1$ está definido (siempre fiel) y $x$ está definido (siempre es cierto), y $x$ es distinto de cero (false cuando... $x=0$).

Por lo tanto, $\frac1x$ no está definido en $x=0$, por lo tanto $\frac1{\frac1x}$ no está definido en $x=0$.

Answer 3

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29%3D1%2F%281%2Fx%29

Tienes razón en que la gráfica de es $y=x$ con el origen eliminado.

Answer 4

Consideramos que la función de $f : \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}^*$, $x \mapsto 1/x$ y básicamente lo componen con itsself. Esto se traduce en una función de $f \circ f : \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}^*$. (En general, si $f : A \to B$ es una función de y $g : B \to C$ es una función, entonces $g \circ f$ es una función de $A \to C$.) Aquí, tenemos $f(f(x))=x$ por cada $x \in \mathbb{R}^*$. Pero no podemos decir $f(f(0))=0$ desde $f(0)$ no está definido. Así que, de hecho, en el gráfico de $f \circ f$ es sólo el habitual de la línea, pero sin el origen.

Answer 5

Si $x$ está en el dominio de $f \circ f^{-1}$, luego en particular debe estar en el dominio de $f^{-1}$, es decir,$\mathbb{R} - \{0\}$.

Recuerde que la definición de una función de $f$ incluye tanto su dominio y su regla (y a veces su codominio); en este caso, como usted dice, la regla es $$(f \circ f^{-1})(x) = x$$ y el dominio es $\mathbb{R} - \{0\}$.

De hecho, en general, dada una invertible mapa de $f: U \to V$, por definición, $f \circ f^{-1}: V \to V$ es el mapa de identidad $\text{id}_V$$V$.