Supongamos que un grupo de $H$ actúa sobre un árbol de $T$, y esta acción corrige un punto. Deje $T_1$ ser $H$ invariante en el subárbol de $T$. ¿Cómo puedo demostrar que $H$ corrige un punto en $T_1$?
Respuesta
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Deje $a\in T$ ser determinado punto tal que $a\cdot h=a$ para todos los $h\in H$. Deje $x\in T_1$ tal que $d(x, a)$ es mínima.
Lema. El punto de $x$ es fijo por $H$.
Boceto de la prueba. Primero debe probar que si $y\in T_1$ es tal que $d(x, a)=d(y, a)$ entonces $x=y$. Para ver esto, demostrar que no es un camino de $p$ de $x$ a $y$ contenida en $T_1$, y por lo tanto hay un ciclo que conecta los tres puntos de $x$, $a$ e $y$, una contradicción como $T$ es un árbol. Usted necesidad de utilizar el minimality de $d(x, a)$ lotes.
Ahora, como $H$ actúa en $T$ por isometrías, la distancia se conserva. Por lo tanto, para todos los $h\in H$ tenemos que $d(x\cdot h, a)=d(x, a)$. Se desprende del párrafo anterior $x\cdot h=x$ para todos los $h\in H$, según se requiera.
