Si $x$ es un racional positivo pero no un entero, es $x^x$ ¿Irracional?

Question

Dejemos que $x$ ser positivo, racional, pero no un número entero. Esto significa que $x$ puede escribirse como $\frac{p}{q}$ con $p,q$ coprime, $p,q \neq 0$ y $q \neq 1$ . Es $x^x$ ¿siempre irracional?

Creo que tiene que ser así, pero no puedo demostrarlo.

$x^x = (\frac{p}{q})^\frac{p}{q} = \frac{p^\frac{p}{q}}{q^\frac{p}{q}}$

Sé que $p^\frac{p}{q}$ y $q^\frac{p}{q}$ no pueden ser ambos racionales, pero hay casos en los que la división de dos números irracionales nos da un número racional. Por ejemplo $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$

Answer 1

Usted tiene $y=x^x=\left(\cfrac pq\right)^{\frac pq}=\left(\cfrac {p^p}{q^p}\right)^{\frac 1q}$ para que $$y^q=\frac {p^p}{q^p}$$

Por lo tanto, la fracción racional $y$ es un $p^{th}$ poder - decir $y=z^p$

Entonces $z^q=\frac pq$ y $\frac pq$ es un $q^{th}$ poder. Ahora $q$ es un número entero que es un $q^{th}$ potencia de un número entero. Pero para $q\gt 1$ tenemos $2^q\gt q$ .