La prueba de la "Radio de Teorema de Convergencia"

Question

Yo no puedo entender cómo es válida para invocar el Teorema de Convergencia Absoluta, cuya hipótesis es la de "Dejar que el poder de la serie tiene radio de convergencia R", para establecer el caso c de la Radio del Teorema de Convergencia (básicamente la conclusión de que "el poder de la serie tiene un radio de convergencia..."). No es razonamiento circular a probar X suponiendo que X sí?

(La mencionada LEY se invoca al lado de la segunda, y posteriormente de nuevo después de la tercera, el margen de la nota siguiente). Yo estaría muy agradecido por cualquier ayuda para resolver esto.

P. S. Los de arriba son extraídas de David Brannan del Análisis Matemático.

Answer 1

Es un poco confusa la forma en que escribe, pero lo que realmente se muestra en el Teorema 3 (en el caso de $a=0$), es que si $\sum a_n x^n$ converge, entonces $\sum a_n y^n$ converge absolutamente para cualquier $|y|<|x|$. La invocación de $ACT$ es confuso, ya que se habla de una noción (radio de convergencia), cuya existencia se demuestra en el Teorema 1. Sin embargo, en la prueba del Teorema 3, $R$ se utiliza sólo para tomar un $|x|<R$, de modo que sepamos $\sum a_n x^n$ converge. Lo que debería haber dicho es "a partir de la demostración del Teorema 3, etc...".

Más detalles:

En la prueba del Teorema 3 (en el libro) que recoge una arbitraria $|x|<R$ por lo que tiene que mostrar la convergencia absoluta. Entonces él dice que no existe $X$ tal que $|x|<|X|<R$. Para esto $X$ tiene convergencia, y de esta convergencia solos (no $R$ necesario después de este punto) deduce de convergencia absoluta para $x$. Observe que en ningún momento se asume o usos que la serie converge para $x$. Él sólo utiliza el radio de convergencia para decir que la serie converge para $X$. En otras palabras, él demuestra la siguiente: Si $\sum a_n x^n$ es convergente, que para cualquier $|y|<|x|$, $\sum a_n y^n$ es absolutamente convergente.

Por el Teorema 1, SI a) y b) no, debe haber un $X$ por lo que la serie diverge. Él concluye que, para cualquier $|x|>|X|$, la serie todavía se bifurca. De hecho, si converge para algunos $|x|>|X|$, sería absoluta convergen para CUALQUIER $|y|<|x|$ (por el argumento de la anterior), en particular para $X$. Contradicción.

Answer 2

Aquí es una alternativa que cuenta un poco más, ya que implica la convergencia absoluta.

Asumir que el poder de la serie converge en algún $x_0\neq a$. Que es: no, no).

Entonces converge absolutamente para todos los $|x-a|<|x_0-a|$. En efecto, desde el $a_n(x_0-a)^n$ tiende a $0$, $|a_n(x-a)^n|\leq C \left(\frac{|x-a|}{|x_0-a|}\right)^n$ para todos los $n$, por lo que se puede concluir que, en comparación con la serie geométrica de la derecha.

Por lo que podemos considerar el conjunto no vacío $S'$ de todos los $R>0$ tal que la serie converge absolutamente para todos los $|x-a|<R$.

Si $R$ pertenece a $S'$, por lo que hace a cada $R'\leq R$ en comparación.

Así que podemos ver que $S'$ es de una de estas dos formas:

• caso b): $(0,R]$ (usted puede comprobar que el límite superior debe pertenecer a la misma). Tenga en cuenta que para cualquier $|x-a|>R$, el poder de la serie diverge, pues de lo contrario $|x-a|$ pertenecen a $S'$ por el primer comentario de arriba. Así que esto es realmente el caso b).

• caso c): $(0,+\infty)$.

El radio de convergencia se define a ser $R$ en el primer caso, $+\infty$ en el segundo caso. Y $0$ en el caso a).