Tenemos que demostrar que si z,w $\in\mathbb{C}$ $|$z$|<$ 1 $|$w$|<$ 1 $\bar{z}$w $\neq$ $\bar{w}$z, a continuación, tenemos las siguientes:

Question

$$\left| (1+|z|^2)w - (1+|w|^2)z \right| > \left| \overline zw - \overline wz \right|$$

Este es el tercer día consecutivo en el que estoy trabajando en este problema. He probado varias manipulaciones como dividiendo por el producto $|$ (1+$|$z$|^{2}$). (1+$|$w$|^{2}$), tratando de demostrar esto en forma polar y así sucesivamente.

Hasta el momento no han llegado a ninguna parte. Estoy tratando de auto-aprender complejo análisis haciendo problemas, pero este problema me tiene perplejo.

Answer 1

Multiplicando ambos $z$ $w$ con el mismo factor de $e^{i\beta}$ hojas de ambos lados de la manifiesta desigualdad sin cambios. Por tanto podemos asumir $$z=re^{-i\alpha}, \quad w=se^{i\alpha},\qquad 0<r<1,\quad 0<s<1,\quad 0<\alpha<{\pi\over2}\ .\tag{1}$$ La demanda, a continuación, lee $$\bigl|(1+r^2)s e^{i\alpha}-(1+s^2)re^{-i\alpha}\bigr|>rs\bigl|e^{2i\alpha}-e^{-2i\alpha}\bigr|=2rs\sin(2\alpha)\ ,$$ o $$\left|{1+r^2\over2r}e^{i\alpha}-{1+s^2\over2s}e^{-i\alpha}\right|>\sin(2\alpha)\ .$$ Poner $${1+r^2\over2r}=:\rho>1,\qquad {1+s^2\over2s}=:\sigma>1\ .$$ Entonces tenemos que demostrar que $$\bigl|\rho e^{i\alpha}-\sigma e^{-i\alpha}\bigr|>\sin(2\alpha)\ .$$ Los dos puntos de $\rho e^{i\alpha}$ $\sigma e^{-i\alpha}$ están mintiendo en los dos rayos en dirección a $e^{\pm i\alpha}$, y fuera del círculo unidad. Su distancia, por lo tanto es $\ >2\sin\alpha>\sin(2\alpha)$.