la convergencia de la secuencia de los promedios de la otra manera alrededor

Question

En un vector normativa espacio, si $ \{x_n\} \longrightarrow x $ $ z_n = \dfrac{x_1 + \cdots+x_n}{n} \longrightarrow x $

Es verdad la otra manera alrededor? significado: si $ z_n = \dfrac{x_1 + \cdots+x_n}{n} \longrightarrow x $$ \{x_n\} \longrightarrow x $?

Mi intuición me dice que esto es cierto porque los $ z_n = \dfrac{x_1 + \cdots+x_{n-1}}{n} + \frac{x_n}{n}\longrightarrow x$

Gracias :)

Answer 1

Su pregunta es,

Si el promedio de la primera $n$ términos de una secuencia tiende a un límite, ¿es la misma secuencia tienden a un límite?

La respuesta es no, en general, como se discute en los comentarios. El más sencillo de los contraejemplos son las secuencias que oscilan entre dos diferentes valores de $\alpha$$\beta$; sería de esperar que el promedio de la primera $n$ términos de una secuencia tenderá a la media de $\alpha$$\beta$. Como un ejemplo concreto vamos a definir

$$ x_n = \frac{1+(-1)^n}{2}, $$

de modo que $x_n$ alterna entre $0$ (al $n$ es impar) y $1$ (al $n$ es incluso). Entonces tenemos

$$ n \, z_n = x_1 + x_2 + \cdots + x_n = \begin{cases} \frac{n}{2} & \text{if } n \text{ is even}, \\ \frac{n-1}{2} & \text{if } n \text{ is odd}, \end{casos} $$

a partir de la cual podemos deducir que

$$ \frac{1}{2} - \frac{1}{2n} \leq z_n \leq \frac{1}{2} $$

y así

$$ \lim_{n \to \infty} z_n = \frac{1}{2}. $$

Sin embargo, hay muchos casos donde uno puede deducir que la convergencia de la secuencia original de la convergencia de este promedio.

Por ejemplo, si $(x_n)$ es positivo, monótona secuencia, entonces la convergencia de $(z_n)$ implica la convergencia de $(x_n)$.

Un poco más difícil (y más útiles) ejemplo se discute en este hilo.

Los resultados de esta forma se llaman Tauberian teoremas. Una buena referencia es el libro de Divergente la Serie de G. H. Hardy.