Simple ejemplo de que no es un espacio de Banach. Producto de la topología.

Question

Reclamo: $$R^\infty \text{ is not a Banach space when equipped with its natural product topology}$$ Necesito ayuda para probar este 'obvio' reclamación. Yo sólo conozco una definición de un producto de la topología y el concepto no parece ser fácil trabajar con ellos. ¿Cómo podría incluso ir a la trata de mostrar si $R^\infty$ es metrizable?

Editar: Intuitivamente, sé que $$d(x,y)=\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{2^j} \frac{|x_j-y_j|}{1+|x_j-y_j|}$$ debe demostrar que $R^{\infty}$ es metrizable.

Answer 1

Sugerencia: cualquier barrio de $0$ en el producto topología contendrá una línea recta a través de $0$.