Problema con el juego

Question

Pregunta

Robert va a ganar $\$1$ with probability $\frac{1}{4}$, win $\$2$ con una probabilidad de $\frac{1}{4}$, y perder $\$1$ with probability $\frac{1}{2}$ in a bet. Each bet is independent. Determine the probability that Robert will win at most $\$20$ después de apostar $100$ veces.

Intento

Deje $X$ será la cantidad de dinero que Robert gana. Sé cómo determinar el dinero que Robert iba a conseguir cada apuesta es decir $E[X]=\$1\cdot\frac{1}{4}+\$2\cdot\frac{1}{4}-\$1\cdot\frac{1}{2}=\$0.25$. Creo que la probabilidad sería $100\%$ porque después de apostar $100$ veces la espera del dinero que iba a conseguir es $\$0.25\cdot100=\$25$, pero no está definitivamente mal. ¿Cuál es el enfoque correcto para resolver este problema? Cualquier ayuda se agradece. Gracias de antemano.

Answer 1

Deje $S_{100} = \sum_{k=1}^{100}X_k$ denotar las ganancias después de 100 apuestas.

Entonces

$$E(S_{100})= 100E(X)= 25$$

y

$$var(S_{100})= \sum_{k=1}^{100}var(X)= 100(27/16)\approx 168.75.$$

Como una suma de $100$ independiente de variables aleatorias, $S_{100}$ es aproximadamente distribuidos normalmente con una media de $25$ y la desviación estándar $\sqrt{168.75} \approx 12.99$.

La probabilidad de que en la mayoría de las $\$20$ en ganancias se obtiene utilizando la función de distribución normal estándar

$$P(S_{100} \leq 20)= N\left(\frac{20-25}{12.99}\right)\approx 35\% $$

Answer 2

Una forma sencilla de obtener una solución correcta está usando la fuerza bruta y una hoja de cálculo, y el cálculo de los valores siguientes:

Después de 1 juego, ¿cuáles son las probabilidades de tener -1, 0, 1, 2 dólares? Después de 2 juegos, ¿cuáles son las probabilidades de tener -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 de dólares? ... Después de 100 juegos, ¿cuáles son las probabilidades de tener -100, -99, ..., 199, 200 dólares?

Cada uno puede calcularse con bastante facilidad. Si definimos $P (n, d)$ = "probabilidad de tener d dólares después de n de los juegos",$P (n, d) = P (n-1, d+1)/2 + P (n-1, d-1)/4 + P (n-1, d-2) / 4$. Entonces usted acaba de sumar los números P (100, -100) P (100, 20).

Se puede comprobar que la hoja de cálculo es correcto, tomando las probabilidades de que usted calcula, utilice para calcular la cantidad esperada de dinero, y comprobar que de hecho es de $25.

(Para un razonablemente el resultado exacto con menos cálculos, se podría suponer que el dinero ganado se siga una distribución normal, calcular el promedio y la desviación estándar, y el uso de una tabla para el cálculo de que tal distribución daría un valor de más de 20.5. Esta voluntad de no dar el resultado correcto, pero no debe estar demasiado lejos).

Answer 3

No, No puede ser $100\%$ que gana al menos $20$, como él podría perder todas las apuestas. Estás en lo correcto de que su expectativa es $25$. Si gana $2$ cinco veces ha $20$ más apuestas de que él debe ganar $15$ o más. La oportunidad de ganar específicamente cinco apuestas en $2$ $15$ apuestas en $1$ ${25 \choose 5}{20 \choose 15}\frac 1{4^5}\cdot \frac 1{4^{15}}\cdot \frac 1{2^5}$ Hay un montón de posibilidades para agregar.

Answer 4

No sé si esto ayuda, pero he aquí una reformulación del problema: Vamos a $a$ el número de \$1 wins; $b$ be the number of \$2 victorias, y deje $c$ el número de \$1 pérdidas.

Tenemos $a+b+c=100$, y queremos que $a+2b-c\le 20$. (Por supuesto, $a,b,c \ge 0$.)

A partir de la ecuación, tenemos $c=100-a-b$, lo cual nos conectamos con la desigualdad, la obtención de $a+2b-(100-a-b)\le 20$,

que se simplifica a $2a+3b\le 120$.

Así que queremos que $P(2a+3b\le 120)$.

Supongo que esta probabilidad sería dada por $$\sum_{2a+3b\le 120, a,b\ge 0} \frac{100!}{a!b!(100-a-b)!}(.25)^{a+b}(.5)^{100-a-b} $$