Termwise diferenciación para absolutamente convergente la serie

Question

Supongamos $f(x,y)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x,y)$ converge absolutamente. Es cierto que $$\dfrac{\partial}{\partial x}f(x,y)=\sum_{n=1}^\infty\dfrac{\partial}{\partial x}f_n(x,y)?$$

Si no, ¿qué condición adicional que necesitamos hacer (por ejemplo, convergencia uniforme)?

Answer 1

No, eso no funciona ya para funciones de una variable. El teorema desea utilizar es:

Teorema. Deje $I$ ser un intervalo abierto no vacío en $\mathbb{R}$. Deje $(f_n)$ ser una secuencia de ${\cal C}^1$ funciones $I$ tal que

• $(f_n)$ converge a una función $f$ pointwise
• $(f_n)'$ converge uniformemente a una función $g$ (localmente uniformemente es suficiente)

A continuación, $f$ es diferenciable y $f' = g$.

Confío en que sepan adaptarse a esta serie? El teorema también es válido para funciones de varias variables, entonces la convergencia uniforme de $f'$ (que es un diferencial de ahora) es tomado con respecto a un subordinado (matriz) de la norma.

Para un contra-ejemplo de este teorema cuando sólo supone la convergencia uniforme de $f_n$, considere la posibilidad de $f_n(x) = \sqrt{x^2 + 1/n}$. Creo que esto también proporciona un contra-ejemplo para la serie de la versión del teorema con sólo normal de convergencia de la serie (compruebe que $\sum (f_{n} - f_{n+1})$ converge normalmente).

Answer 2

Convergencia absoluta no es relevante para la identidad en cuestión. Usted necesita algo más fuerte que la convergencia uniforme: ver http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_convergence#To_differentiability por ejemplo. (Creo que la presencia de la variable $y$ es un arenque rojo aquí.)