Descomponer la matriz simétrica en factores de escala

Question

Tengo una matriz cuadrada simétrica $P$ compuesta por la multiplicación por la izquierda y por la derecha de otra matriz cuadrada simétrica $Z$ con una matriz diagonal $$:

$$P = Z$$

es decir ( $_i$ significa $_{ii}$ ):

$$ \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n} \\ p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ p_{n1} & p_{n2} & \cdots & p_{nn} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} _1_1z_{11} & _1_2z_{12} & \cdots & _1_nz_{1n} \\ _2_1z_{21} & _2_2z_{22} & \cdots & _2_nz_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ _n_1z_{n1} & _n_2z_{n2} & \cdots & _n_nz_{nn} \\ \end{bmatrix} $$

¿Existe alguna descomposición capaz de realizar la operación inversa (pasar de $Z$ y $P$ a $$)?

Answer 1

Si conoce $Z$ y $P$ entonces comparando $z_{ii}$ y $p_{ii}$ (a menos que sean $0$ ), puede encontrar $\lambda_i^2$ ...