Condiciones equivalentes a las de la izquierda adjunto-a la izquierda-inversa

Question

Estoy haciendo un ejercicio en MacLane, en la que tres condiciones equivalentes a las de la izquierda adjunto-a la izquierda-los inversos son para ser probado. He hecho el ciclo de implicaciones, excepto por un punto.

Deje $G:A\rightarrow X$ ser un functor y supongamos que hay un completo, reflexivo subcategoría $Y$ $X$ y un iso $H:A\cong Y$ s.t. $G=KH$ donde $K$ es la inserción. $G$ , obviamente, tiene un adjunto a la izquierda, y el counit es invertible, pero quiero demostrar que, en realidad, $\varepsilon $ es en realidad la identidad.

Última edición: tengo que demostrar que, bajo ciertas condiciones, existe una izquierda adjoint $F$ $G$s.t el counit es la identidad. Desde $H$ es un isomorfismo, es suficiente para mostrar que el $K$ ha dejado adjoint $L:X\rightarrow Y$ s.t. el counit es la identidad. Por hipótesis, $K$ ha dejado adjoint $F':X\rightarrow Y$ y el counit $\epsilon':F'K\rightarrow 1_{Y} $ $F'\dashv K$ es un isomorfismo, ya $K$ es totalmente fiel.

Definir $Lx$ = \begin{cases} x & x\in Y\ & \\ F'x & x\notin Y \end{casos}

Yo, a continuación, defina $\psi :F'\rightarrow L$ por $\psi_{x}$ = \begin{cases} \epsilon'_{x} & x\in Y\ & \\ id _{F'x} & x\notin Y \end{casos}

Voy a demostrar que $L\dashv K$, y que el counit de esta contigüidad es la identidad.

$L$ es un functor: Supongamos $f:x\rightarrow x'$. Hay cuatro casos:

I. Tanto en$x$$x'$$Y$. En este caso, sólo tomamos $Lf =f$

II. Ni $x$ ni $x'$$Y$, caso en el cual tomamos $Lf=F'f$

III. $x'$ $Y$ pero $x$ no lo es. A continuación,$f:x\rightarrow Kx'$, por lo que podemos tomar $Lf:F'x\rightarrow x'$ a de ser la única flecha dada por la contigüidad, que es $\epsilon'_{x'}\cdot F'f$

IV. $x$ $Y$ pero $x'$ no lo es. En este caso, $f$ es una flecha: $x\rightarrow x'$ $Lf$ es una flecha :$x\rightarrow F'x'$, lo que puede ser escrito $x\rightarrow KF'x'$, por lo que podemos definir $Lf=F'f\cdot \eta' _{x}$

Un tedioso consideración de los seis casos muestra que $L$ es un functor. Del mismo modo, la comprobación de los distintos casos, el uso de connaturalidad de $\epsilon' $ y el hecho de que desde $K$ es completa, $K\epsilon' $ es invertible con inverse $\eta' _{K}$, nos encontramos con que $\psi $ es un isomorfismo natural.

El resto es fácil: Si $f:x\rightarrow Ky$, entonces el mapa que envía a $f$ $\epsilon '_{y}\cdot F'f\cdot \psi_{x} ^{-1}:Lx\rightarrow y$natural bijection, y así establece que $L\dashv K$. El uso de connaturalidad de $\psi $, podemos escribir la bijection en términos de$L$$\epsilon '_{y}\cdot \psi _{ky}^{-1}\cdot Lf$, desde el cual es inmediato que la counit $\epsilon :LK\rightarrow 1_{Y}$$\epsilon '_{y}\cdot \psi _{ky}^{-1}$. Ahora, $Ky=y\in Y$, lo $\psi _{ky}^{-1} = \psi _{y}^{-1}=\epsilon '^{-1}_{y}$, por definintion de $\psi $, por lo que el counit $\epsilon $ es la identidad.

Answer 1

Elija una izquierda adjoint $L : \mathcal{X} \to \mathcal{A}$ $G : \mathcal{A} \to \mathcal{X}$ y counit $\epsilon : L G \Rightarrow \mathrm{id}_{\mathcal{A}}$. Desde $G : \mathcal{A} \to \mathcal{X}$ es totalmente fiel, $\epsilon$ es un isomorfismo natural. Deje $F : \mathcal{X} \to \mathcal{A}$ ser definido en los objetos de la siguiente manera: $$F x = \begin{cases} a & \text{if } x = G a \text{ for some } a \text{ in } A \\ L x & \text{otherwise} \end{casos}$$ Esto tiene sentido porque $G : \mathcal{A} \to \mathcal{X}$ es inyectiva sobre los objetos. Deje $\phi_x : L x \to F x$ $\epsilon_a : L G a \to a$ $x = G a$ $\mathrm{id}_x : L x \to L x$ lo contrario. Entonces no hay una única manera de hacer las $F$ en un functor de modo que $\phi : L \Rightarrow F$ se convierte en un isomorfismo natural. Por otra parte, $F : \mathcal{X} \to \mathcal{A}$ se convierte en un adjunto a la izquierda para $G : \mathcal{A} \to \mathcal{X}$ con counit $\epsilon \bullet \phi^{-1} G : F G \Rightarrow \mathrm{id}$; pero por construcción, $\epsilon \bullet \phi^{-1} G = \mathrm{id}$, según se requiera.