Cómo mostrar este estimador de la varianza es sesgada?

Question

Se sabe que la varianza muestral es un estimador imparcial:

$$s^2 = \frac 1{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)^2$$

Me gustaría mostrar que $\sigma '^2 = (X_1 - X_2)^2 $ es un estimador sesgado.

Mi trabajo:

$$E((X_1 - X_2)^2)= E(X_1^2) - 2E(X_1 X_2) + E(X_2^2)$$

No me enseñó cómo específicamente para simplificar este tipo de expresión, pero sospecho que $E(X_1^2)=E(X_2^2)$ ya que es simétrica.

No tengo más ideas acerca de cómo demostrar que el valor esperado no es la varianza de la población. Por favor, dame algunos consejos para trabajar en él. Gracias.

Answer 1

Es imparcial si $\mathsf{E}(\hat{\sigma}^2)=\sigma^2$.

$$ \begin{align} \mathsf{E}(\hat{\sigma}^2)=\mathsf{E}((X_1-X_2)^2)&=\mathsf{E}(X_1^2)+\mathsf{E}(X_2^2)-2\mathsf{E}(X_1X_2)\\ &=2(\sigma^2+\mu^2)-2\mu^2\\ &=2\sigma^2\neq\sigma^2 \end{align}$$

Answer 2

Sugerencia: Su enfoque funciona bien. Utilice el hecho de que $X_1, X_2, \ldots , X_n$ son de forma independiente e idénticamente distribuidas.

Como alternativa, deje $\mu=E(X_1)=E(X_2)$. La media de población, suponiendo que existan, será el mismo debido a idéntica distribución. Ahora podemos escribir la $E(X_1-X_2)^2$$E\big\{(X_1-\mu)-(X_2-\mu)\big\}^2$.

Tenga en cuenta que $E\big\{(X_1-\mu)-(X_2-\mu)\big\}^2=E(X_1-\mu)^2+E(X_2-\mu)^2$ (El producto cruzado término desaparece!), lo que equivale a dos veces el valor de la varianza de la población.