La probabilidad es $ \le \frac{1}{4}$

Question

Tenemos ($P$ es la probabilidad): $P(A \cup B \cup C) = 1$ ; $P(B) = 2P(A) $ ; $P(C) = 3P(A) $ y $P(A \cap B) = P(A \cap C) = P(B \cap C) $. Demostrar que $P(A) \le \frac{1}{4} $. Bueno, he intentado con el hecho de que $ 1 = P(A \cup B \cup C) = 6P(A) - 3P(A \cap B) + P(A \cap B \cap C) $ pero me atoré... alguien Podría ayudarme, por favor?

Answer 1

Deje $\mathbb P(A)=a$,$\mathbb P(B)=2a$$\mathbb P(C)=3a$. Por lo tanto $\mathbb P(B\cap C)\geqslant \mathbb P(B)+\mathbb P(C)-1$, $\mathbb P(B\cap C)\geqslant5a-1$. Por hipótesis, $\mathbb P(A\cap B)=\mathbb P(B\cap C)$ por lo tanto $\mathbb P(A\cap B)\geqslant5a-1$. Pero $\mathbb P(A\cap B)\leqslant \mathbb P(A)=a$ por lo tanto $a\geqslant5a-1$, $\mathbb P(A)=a\leqslant\frac14$.

Nota: Esto no utilizar la hipótesis de $\mathbb P(A\cup B\cup C)$$\mathbb P(A\cap C)$.

Answer 2

Esta solución es, posiblemente, el más complicada de lo necesario, pero es lo primero que se me ocurrió. Por comodidad vamos a $x=P\big((A\cap B)\setminus C\big)$$y=P(A\cap B\cap C)$. Vamos $a=P(A)-2x-y$, $b=P(B)-2x-y$, y $c=P(C)-2x-y$; estas son las probabilidades de $A\setminus(B\cup C)$, $B\setminus(A\cup C)$, y $C\setminus(A\cup B)$, respectivamente. (Un diagrama de Venn es útil aquí.)

Ahora $$b+2x+y=2(a+2x+y)=2a+4x+2y\;,$$ so $b=2a+2x+y$. Similarly, $$c+2x+y=3(a+2x+y)=3a+6x+3y\;,$$ so $c=3a+4x+2y$. Entonces

$$\begin{align*} 1&=P(A\cup B\cup C)\\ &=a+b+c+3x+y\\ &=6a+9x+4y\\ &=4(a+2x+y)+2a+x\\ &=4P(A)+2a+x\;. \end{align*}$$

Desde $2a+x\ge 0$, debemos tener $P(A)\le \frac{1}{4}$.