Pointwise, de manera uniforme y convergencia absoluta de la serie de Fourier

Question

Realmente me encantaría su ayuda con este: Tengo esta serie de Fourier para $f(x)=x$ en $[-\pi,\pi]$: $$\sum_{1}^{\infty}\frac{2(-1)^{n+1}\sin(nx)}{n}$$ and I need to check if it's (i) pointwise converges,(ii) uniformly converges and if (iii) $$\sum_{1}^{\infty}\left|\frac{2(-1)^{n+1}\sin(nx)}{n}\right|$$ converge.. traté de hacerlo, y tengo par de preguntas concretas que me interrumpa.

(yo) puedo reclamar que la serie es pointwise debido a Leibniz de la prueba? desde $\frac{\sin(nx)}{n} \to 0$? Me dijeron que tengo que usar la continuidad Lipschitz aquí. Cómo puedo utilizarlo?

(ii) me dijeron que esta serie no converge uniformemente desde $f(x)$ no es continua en esta parte. ¿Cómo ven? Es porque siempre tenemos que ver esas funciones que nos calcular su serie de Fourier como funciones periódicas con periodo de $[0,2\pi]$, por lo que en nuestro caso la función en $0$ no continúa?

(iii) ¿Cómo es que no los puedo usar de Dirichlet de la prueba para la serie y la afirmación de que la $$\sum_{1}^{\infty}\left|\frac{2(-1)^{n+1}\sin(nx)}n\right|$$ does converges? The test requires a multiple of a series that monotonic converges to $0$ and $\sum_{1}^{N}|\sin(nx)|<M$? ¿Está mal? ¿Cómo se puede demostrar que esta serie no converge?

Gracias, gran trabajo chicos!

Answer 1

Algo que podría resultar aplicable es la de Dirichlet Convergencia de la Prueba. Sumación por Partes de los rendimientos $$ \sum_{k=1}^na_kb_k=A_nb_n+\sum_{k=1}^{n-1}A_k(b_k-b_{k+1})\etiqueta{1} $$ donde $\displaystyle A_n=\sum_{k=1}^na_k$. Tenga en cuenta que $(-1)^{n+1}\sin(nx)=-\sin(n(\pi+x))$, por lo que tenemos $$ \begin{align} A_n &=\sum_{k=1}^n(-1)^{n+1}\sin(kx)\\ &=-\sum_{k=1}^n\sin(k(\pi+x))\\ &=\frac{\sin(n(\pi+x)/2)}{\sin((\pi+x)/2)}\sin((n+1)(\pi+x)/2)\tag{2} \end{align} $$

Por lo tanto, $|A_n|\le|\sec(x/2)|$. Por lo tanto,

(i) de acuerdo a$(1)$$(2)$, la serie converge pointwise excepto en los impares múltiplos de $\pi$; sin embargo, en cualquier múltiplo de $\pi$, cada término es $0$. Por lo tanto, la serie converge para todos los $x$.

(ii) de acuerdo a$(1)$$(2)$, la serie converge uniformemente en compactos de los conjuntos que no se contienen una extraña múltiples de $\pi$. Una secuencia de funciones continuas no convergen uniformemente a una función discontinua, por lo que la convergencia no puede ser uniforme en cualquier barrio de una extraña múltiples de $\pi$.

(iii) excepto en múltiplos de $\pi$, la serie no es absolutamente convergente. Aquí está el esquema de una prueba.

En primer lugar, mostrar que si $x$ no es un múltiplo de a $\pi$, al menos $1/4$ de los múltiplos de $x$ ha $|\sin(kx)|>1/\sqrt{2}$. Debido a $|\sin(k(x+n\pi))|=|\sin(kx)|$, sólo necesitamos considerar $x\in[-\pi/2,\pi/2]$. Desde $|\sin(-kx)|=|\sin(kx)|$, sólo necesitamos considerar $x\in[0,\pi/2]$.

Si $x\in[\pi/(n+1),\pi/n]$, entonces al menos $\lfloor n/2\rfloor$ múltiplos de $x$ $[(m+1/4)\pi,(m+3/4)\pi]$ en la mayoría de las $n+1$$[m\pi,(m+1)\pi]$. Desde $(0,\pi/2]=\cup_{n=2}^\infty[\pi/(n+1),\pi/n]$, esto significa que al menos $1/4$ de los múltiplos de $x$$[m\pi,(m+1)\pi]$$[(m+1/4)\pi,(m+3/4)\pi]$, y por lo tanto, ha $|\sin(kx)|>1/\sqrt{2}$.

Por lo tanto, $1/4$ $n$ $n+1$términos consecutivos de la suma ha $|\sin(kx)|>1/\sqrt{2}$. La suma es, por tanto, mayor que $$ \frac{1}{4}\sum_{k=n+1}^\infty\frac{2}{k}\frac{1}{\sqrt{2}}\etiqueta{3} $$ que diverge. Por lo tanto, si $x$ no es un múltiplo de a $\pi$, la serie de valores absolutos diverge.

Answer 2

¿Qué entiende usted por Leibniz prueba? Y $\sin nx\over n$ converge a 0, no infinito.

Aquí consideramos a $f(x)=x$ con el dominio $[-\pi,\pi]$.

Para i) que puede utilizar (si usted ha tenido ya) el teorema: Si $f$ es continua y acotada variación en $[-\pi,\pi]$, entonces la serie de Fourier de $f$ converge a $f$ pointwise en $(-\pi,\pi)$ y a la media de la mano izquierda y la derecha de los límites de el periódico de extensión de $f$ a los extremos.

Para ii) El de arriba también te digo que el límite de la función no es continua en a $[-\pi,\pi]$ (en particular en$x=\pi$$x=-\pi$, donde la serie converge a 0). Desde un límite uniforme de funciones continuas es continua, se sigue que la convergencia de la serie no es uniforme en $[-\pi,\pi]$ (es uniforme en cualquier $[a,b]\subset(-\pi,\pi)\thinspace$).

No estoy seguro de cómo manejaría iii); pero se podría aplicar esto.