Encontrar todos los posibles valores de $(a,b,c,d)$.

Question

Encontrar todos los cuádruples de los números reales $(a,b,c,d)$ satisfacer el sistema de ecuaciones

$(b+c+d)^{2010}=3a$

$(a+c+d)^{2010}=3b$

$(a+b+d)^{2010}=3c$

$(a+b+c)^{2010}=3d$

Traté de encontrar las soluciones de prueba y éxito, y usando un poco de lógica también me encuentro dos soluciones que se $(0,0,0,0)$ $(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$

Creo que estas son las únicas soluciones que existen.

Answer 1

Todas las soluciones deben ser no negativos debido a $2010$ es incluso.

Supongamos $d \gt a$. Esto llevaría a una contradicción comparando $(a+b+c)^{2010}$$(b+c+d)^{2010}$.

Así que los cuatro deben ser iguales y no negativo, decir $x$ e tiene $(3x)^{2010}=3x$, que sólo tiene las soluciones $3x=0$$3x=1$, es decir,$$a=b=c=d=0$$ or $$a=d=c=d=\frac13$$

Answer 2

Si $(a,b,c,d)$ satisface las ecuaciones, entonces podemos asumir que $a\leq b\leq c\leq d$.Estos no son negativos debido a una potencia par de un número real es siempre no negativo. De ello se sigue que $$ b+c+d\geq a+c+d\geq a+b+d\geq a+b+c$$ since $x$ and hence $x^{2010}$ is increasing for $x\geq 0$, we have that $$3a=(b+c+d)^{2010}\geq (a+c+d)^{2010}\geq (a+b+d)^{2010}\geq (a+b+c)^{2010}=3d$$ We thus conclude that $a=b=c=d$ and all the equations take the form $(3a)^{2010}=3a$, so $=0$ or $3a=1$. Finally, all solutions are $(0,0,0,0)$ and $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$.