Las cuatro líneas rectas dadas por la ecuación de $12x^2+7xy-12y^2 =0$ $12x^2+7xy-12y^2-x+7y-1=0$ encuentran a lo largo del lado de el?

Question

Sé que estas ecuaciones se llama ecuación general de segundo grado y también representan un par de líneas rectas. Yo podría extraer líneas a partir de la ecuación $$12x^2+7xy-12y^2 =0 $$ (these are $$ 3x+4y=0$$ and $$4x-3y=0$$) but I don't know how to separate lines from $$12x^2+7xy-12y^2-x+7y-1=0.$$ creo que tenemos que encontrar la solución por encontrar la diferencia entre las cuatro líneas rectas, pero tengo problemas para que los separa. Gracias!

Answer 1

Como escribí en el comentario, su segunda ecuación viene en dos líneas, como todo el mundo, señaló. Si podemos alterar ligeramente ella se obtiene una hipérbola , $$ 12 x^2 + 7 xy - 12 y^2 - x + 7 y = 0, $$ que pasa por el origen y es asintótica a sus dos desplazado líneas, que ahora se cruzan entre sí en $(-1/25, 7/25)$

Aquí está incluido el $x,y$ ejes

Si alteramos la constante en la otra dirección, se pueden obtener diferentes hipérbola pero todavía asintótica de las líneas,

Aquí esta uno con ejes

Answer 2

Con el fin de evitar los engorrosos cálculos, se supone que las líneas son: $y=m_{1}x+c_{1}$ & $y=m_{2}x+c_{2}$ Ahora, la ecuación cuadrática de la par de las líneas está dada como $$(m_{1}x-y+c_{1})(m_{2}x-y+c_{2})=0 $$$$\implica m_{1}m_{2}x^2-(m_{1}+m_{2})xy+y^2+(m_{1}c_{2}+m_{2}c_{1})x-(c_{1}+c_{2})y+c_{1}c_{2}=0 \tag 1$$ The given equation of pair of lines : $12x^2+7xy-12y^2-x+7y-1=0$ se puede escribir como
$$-x^2-\frac{7}{12}xy+y^2+\frac{1}{12}x-\frac{7}{12}y+\frac{1}{12}=0 \tag 2$$ Now, compare both the above equations (1) & (2), we have $$m_{1}m_{2}=-1 \quad \text{&} \quad m_{1}+m_{2}=\frac{7}{12} \tag 3$$$$ \implica m_{1}-m_{2}=\sqrt{(m_{1}+m_{2})^2-4m_{1}m_{2}}=\sqrt{\left(\frac{7}{12}\right)^2-4(-1)}=\frac{25}{12}\etiqueta 4$$ (Nota: $m_{1}$ & $m_{2}$ se desconoce, por tanto, sus signos serán automáticamente decidió después de que el cálculo)

Ahora, la Solución de las ecuaciones (3) y (4), obtenemos $$m_{1}=\frac{4}{3} \quad \text{&} \quad m_{2}=-\frac{3}{4}$$ Del mismo modo, mediante la comparación de las ecuaciones anteriores (1) y (2), tenemos $$c_{1}c_{2}=\frac{1}{12} \quad \text{&} \quad c_{1}+c_{2}=\frac{7}{12} \tag 5$$$$ \implica c_{1}-c_{2}=\sqrt{(c_{1}+c_{2})^2-4c_{1}c_{2}}=\sqrt{\left(\frac{7}{12}\right)^2-4\left(\frac{1}{12}\right)}=\frac{1}{12}\tag 6$$ (Nota: $c_{1}$ & $c_{2}$ se desconoce, por tanto, sus signos serán automáticamente decidió después de calculationc)

Ahora, la Solución de las ecuaciones (5) y (6), obtenemos $$c_{1}=\frac{1}{3} \quad \text{&} \quad c_{2}=\frac{1}{4}$$ Hence, by setting the corresponding values, we get the equations of the lines as follows $$y=\frac{4}{3}x+\frac{1}{3} \quad \text{&} \quad y=-\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}$$ $$\implies 4x-3y+1=0 \quad \text{&} \quad 3x+4y-1=0$$