¿Cómo se demuestra esta identidad con polinomios característicos en ambos lados?

Question

Supongamos que $A\in \Bbb C^{m\times n},B\in \Bbb C^{n\times m},m\ge n$ probar: $$\det(\lambda I_m-AB)=\lambda^{m-n}\det(\lambda I_n-BA)$$ No quiero entrar en cálculos determinantes desagradables. En su lugar, creo que comparar los factores polinómicos de ambos lados podría ayudar. Mi intento hasta ahora muestra que $AB$ y $BA$ comparten el mismo no es cero valores propios, y que si $BA$ tiene 0 como valor propio, también lo tiene $AB$ . Supongo que estoy en el camino correcto pero no puedo continuar. Las multiplicidades de $(\lambda-\lambda_i)$ s de ambos lados parecen ser un gran problema. No puedo demostrar que son iguales. ¿Pueden ayudarme? Gracias de antemano.

Answer 1

No creo que lo siguiente pueda calificarse de "cálculo de determinantes desagradables". No sé cómo se puede demostrar la igualdad sin permitirse algún cálculo.

Dejemos que $r=\operatorname{rank}(A)$

A partir de un conocido teorema, deduzca que existe $P,Q$ invertible $m\times m$ y $n \times n$ matrices tales que $$A=P\begin{bmatrix}I_r& 0\\ 0 &0\end{bmatrix}Q $$

donde $I_r$ denota el $r\times r$ matriz de identidad.

Por cambios de base, $$B=Q^{-1}\begin{bmatrix}E& F\\ G &H\end{bmatrix}P^{-1}$$

Para algunas submatrices $E,F,G,H$ .

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Tenga en cuenta que $AB=P\begin{bmatrix}E& F\\ 0&0\end{bmatrix}P^{-1}$ y $BA=Q^{-1}\begin{bmatrix}E& 0\\ G&0\end{bmatrix}Q$ .

Por lo tanto, $\chi_{AB}:=\det(XI_m-AB)=\det(XI_r-E)(X)^{m-r}$ y $\chi_{BA}:=\det(XI_n-BA)\det(XI_r-E)(X)^{n-r}$

Por lo tanto, $\chi_{BA}=(X)^{n-m}\chi_{AB}$ , según se desee.