El uso de la chern carácter, puede ser demostrado que no existe ninguna estructura compleja en $S^n$ si $n > 6$: Ver el libro: si $S^{2n}$ tiene una estructura compleja, vamos a $\tau$ ser la tangente paquete. $c_n(\tau) = \chi(S^{2n}) = 2$ debe ser divisible por $(n-1)!$ por Husemöller, de haces de Fibras, capítulo 20, Teorema 9.8. Así que el único caso de la izquierda es$S^4$$S^6$.
Hay una compleja estructura en $S^4$ o $S^6$?
Se sabe que $S^4$ ni siquiera tiene casi un estructura compleja, y en el caso de $S^6$ está abierto. La falta de casi un número complejo puede ser demostrado en un número de maneras, una forma de hacerlo es mostrando que casi complejos, compacto, cuatro colector con $\dim_{\mathbb{Q}}H^2(X,\mathbb{Q})=0$$\chi(X)=0$, pero los cuatro de la esfera no. (Se desprende del índice de teorema, aquí's una referencia rápida, el primer resultado).
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