¿Cuál es la longitud de la arista de la regular decagon que es la frontera exterior de la cara centrada en la proyección ortogonal de un dodecaedro regular de la longitud de la arista 1?
En otras palabras, en este diagrama de un dodecaedro regular:
Si la longitud de la arista de los pentágonos en el medio son 1, entonces ¿cuál es la longitud de la arista de la decagon en el exterior?
Se puede ver que el exterior de los vértices que pertenecen a ambas un pentágono de borde de $\phi$, y un decagon. Desde el pentágono, el borde es la shortchord de la decagon, podemos derivar el borde directo como
$\frac{\phi}{\sqrt{\phi\sqrt{5}}}$ o $\sqrt{\frac{\phi}{\sqrt 5}}$.
Poniendo en valores, obtenemos 1.61803398875/1.90211303259.
El sistema de coordenadas de los vértices de un dodecaedro regular con la longitud de la arista $\sqrt 5-1$ $(\pm 1, \pm 1, \pm 1), (0, \pm \phi, \pm \phi^{-1}), (\pm \phi^{-1}, 0, \pm \phi),(\pm \phi, \pm \phi^{-1}, 0),$ $\phi$ la Proporción áurea: $\phi = \frac {1+\sqrt 5}{2}$. Así que la escala de la longitud de la arista de nuevo a 1, la caída de la última coordinar y obtener las distancias entre el exterior de los vértices.
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