Demuestre que si$f(x)=f(y)$ para todos$f\in X^{*},$ entonces$x=y$

Question

Se puede comprobar si la prueba es correcta?

Deje $X$ ser una normativa espacio lineal. Probar que si $f(x)=f(y)$ para todos los $f\in X^{*},$ entonces $x=y$

Deje $f\in X^{*}$, a continuación, $f$ es un delimitada lineal funcional. Suponga que $x,\in X$ tales que \begin{align}f(x)=f(y)&\iff f(x)-f(y)=0, \\& \iff f(x-y)=0, \;\text{since}\;f \;\text{is a linear functional}\;\\& \iff x-y\in \ker f =\{0\}\\& \iff x=y\end{align}

Answer 1

La afirmación es verdadera, pero la prueba no es. En la prueba, se supone implícitamente que si $f\in X^*$, a continuación, $\ker f=\{0\}$, lo cual no es cierto en general (creo que de la cero funcional).

Una correcta prueba puede ser construido con el de Hahn–Banach teorema. En particular, si $x-y\neq 0$, entonces existe algún $f\in X^*$ tal que $f(x-y)=\|x-y\|\neq 0$, por lo que $f(x)\neq f(y)$. Para más detalles, véase el Teorema 5.8(b) en Folland (1999, pág. 159).

Answer 2

La prueba no es correcta, porque, unles $\dim X\leqslant1$, $\ker f$ no puede ser, posiblemente, $\{0\}$.

Deje $z=x-y$ y deje $Z$ ser el espacio vectorial generado por $z$. Considerar el lineal mapa$$\begin{array}{rccc}g\colon&Z&\longrightarrow&\mathbb R\\&\lambda z&\mapsto&\lambda.\end{array}$$Then $g$ is bounded and therefore, by the Hahn-Banach theorem, you can extend it to an element $f\X^*$. Pero\begin{align}f(x)-f(y)&=f(x-y)\\&=f(z)\\&=g(z)\\&=1\\&\neq0.\end{align}